Różne metody = różne wyniki ?

[krzysiek111]

Witam!

Próbowałem rozwiązać takie proste równanie: sin 2x = cos x na dwa sposoby... i za każdym razem mam inny wynik (!). Mógłby mi ktoś wskazać, gdzie jest błąd? A może moje wyniki faktycznie da się sprowadzić do jednego?

SPOSÓB I.
sin 2x - cos x = 0
stąd, że sin 2x = 2 sin x cos x, otrzymuję
2 sin x cox x - cos x = 0
wlepiam w nawias:
cos x(2sin x - 1) = 0
cosinusa przyrównuję do zera i wychodzi: \(\displaystyle{ x=k\pi+\frac{\pi}{2}}\)
Nawias ze sinusem też przyrównuję do zera:
2 sin x - 1 = 0
2 sin x = 1
sin x = 1/2
\(\displaystyle{ x=2k\pi+\frac{\pi}{6} x=2k\pi+\frac{5}{6}\pi}\)
W sumie rozwiązania to:
\(\displaystyle{ x=2k\pi+\frac{\pi}{6} x=2k\pi+\frac{5}{6}\pi x=k\pi+\frac{\pi}{2}}\)

SPOSÓB II.
Też przenoszę wszystko na jedną stronę:
sin 2x - cos x = 0
Zamieniam cosinusa na sinusa...
\(\displaystyle{ sin 2x - sin(x+\frac{\pi}{2})}\)
i korzystam ze wzoru na różnicę sinusów:
\(\displaystyle{ 2sin\frac{2x-x-\frac{\pi}{2}}{2}cos\frac{2x+x+\frac{\pi}{2}}{2}=0}\)
czyli krócej:
\(\displaystyle{ 2sin\frac{x-\frac{\pi}{2}}{2}cos\frac{3x+\frac{\pi}{2}}{2}=0}\)
I sobie przyrównuję do zera najpierw sinusa....
\(\displaystyle{ \frac{x-\frac{\pi}{2}}{2}=k\pi}\)
\(\displaystyle{ x-\frac{\pi}{2}=2k\pi}\)
\(\displaystyle{ x=2k\pi+\frac{\pi}{2}}\)
a potem cosinusa...
\(\displaystyle{ \frac{3x+\frac{\pi}{2}}{2}=k\pi+\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ 3x+\frac{\pi}{2}=2k\pi+\pi}\)
\(\displaystyle{ 3x=2k\pi+\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{6}}\)
czyli jednak wynik to:
\(\displaystyle{ x=2k\pi+\frac{\pi}{2} x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{6}}\)

[help_me;)]

Zle zamieniles w tym drugim przypadku cosinusa na sinusa cosx=sin(pi/2-x)

[krzysiek111]

Nie no, niemożliwe, przecież \(\displaystyle{ cos x = sin(x+\frac{\pi}{2})}\)...

Dowód:
\(\displaystyle{ sin \, (x+\frac{\pi}{2})=sin \, x \: cos \, \frac{\pi}{2} + sin \, \frac{\pi}{2} \: cos x = sin \, x 0 + cos \, x 1= cos \, x}\)

[DEXiu]

Rozstrzygając Wasz spór: \(\displaystyle{ \cos{x}=\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\sin(\frac{\pi}{2}+x)}\)

krzysiek111 ==> następnym razem zanim stworzysz taki temat dobrze by było, gdybyś sprawdził czy nie popełniasz elementarnych błędów.
Nie ten spójnik w rozwiązaniach - nie \(\displaystyle{ \wedge}\) ("i"), tylko \(\displaystyle{ \vee}\) ("lub")
W drugim sposobie przyrównując do zera sinusa lub cosinusa powinieneś brać cały argument funkcji, a nie tylko licznik.
Poza tym chyba jest OK.

[krzysiek111]

Dobra, poprawiłem, to i owo. Jestem zawstydzony moimi elementarnymi błędami

[Calasilyar]

krzysiek111 ==> następnym razem zanim stworzysz taki temat dobrze by było, gdybyś sprawdził czy nie popełniasz elementarnych błędów.

cóż, jego prawo