Okres podstawowy f(x) = arccos(cosx)

[pmajster]

Jak wyznaczyć okres podstawowy funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = arccos(cosx)}\)?

[Crizz]

Dziedziną funkcji arcus cosinus jest przedział \(\displaystyle{ <0,\pi>}\). Dla \(\displaystyle{ x\in \langle \pi,2\pi\rangle}\) przedstawiamy \(\displaystyle{ x}\) jako \(\displaystyle{ a+\pi}\) i mamy \(\displaystyle{ cos(a+\pi)=cos(\pi-a)}\), co wynika ze wzorów redukcyjnych. Oznacza to, ze fragmenty wykresu tej funkcji dla \(\displaystyle{ x\in<0,\pi>}\) oraz dla \(\displaystyle{ x\in <\pi,2\pi>}\) są symetryczne.

Wiemy także, że \(\displaystyle{ cos(x+2\pi)=cosx}\), zatem \(\displaystyle{ arccos(cos(x+2\pi))=arccos(cosx)}\); z powyższego rozumowania wynika, że mniejszego okresu funkcja nie ma, czyli jej okresem podstawowym jest \(\displaystyle{ 2\pi}\).