oblicz x, sinusy i cosinusy

[bartol222]

Witam.
Pomożecie mi rozwiązać (po kolei z przekształceniami) takowy problem: oblicz "x".

\(\displaystyle{ sin^{6}x+ cos^{6}x = \frac{7}{16}}\)

Kombinuje na różne sposoby i nie mam już pomysłu na to. Dzięki wielkie.

[Crizz]

Przedstaw \(\displaystyle{ sin^{6}x}\) jako \(\displaystyle{ \left(sin^{2}x\right)^{3}}\). Podstaw \(\displaystyle{ sin^{2}x=1-cos^{2}x}\). Powinieneś otrzymać równanie dwukwadratowe.

[bartol222]

Po podstawieniach i przekształceniach delta wyszła mi ujemna co uważam za mało atrakcyjny wynik. Może gdzieś się pomyliłem?

Jestem na etapie \(\displaystyle{ 3 cos^4 x-3 cos^2 x +1 = \frac{7}{16}}\), oczywiście deltę liczyłem z zerem po prawej stronie. Za \(\displaystyle{ cos ^2 x}\) podstawiłem p, co by się łatwiej liczyło.

[Crizz]

Hmm... po podstawieniu \(\displaystyle{ p=cos^{2}x}\) otrzymujesz:
\(\displaystyle{ 3p^{2}-3p+\frac{9}{16}=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(-3)^{2}-4 \cdot 3 \cdot \frac{9}{16}=\frac{9}{4}}\)
więc widocznie jakiś błąd w obliczeniach się wkradł .

[bartol222]

Uwielbiam takie błędy, liczyłem to kilka razy specjalnie żeby się nie pomylić.
Czyli wynika ze x jest równe \(\displaystyle{ \frac {\pi}{6}}\) lub \(\displaystyle{ \frac {\pi}{3}}\)

[Crizz]

Hmm... no nie bardzo.

Otrzymujemy \(\displaystyle{ p_{1}=\frac{3}{4},p_{2}=\frac{1}{4}}\).

Wracamy do podstawienia:
\(\displaystyle{ cos^{2}x=\frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ cosx= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ cos^{2}x=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ cosx= \pm \frac{1}{2}}\)

Zamiast wyjściowego równania mamy zatem do rozwiązania cztery równania: \(\displaystyle{ cosx= \frac{1}{2}, cosx= -\frac{1}{2},cosx=\frac{\sqrt{3}}{2},cosx= - \frac{\sqrt{3}}{2}}\). Każde z nich ma nieskończenie wiele rozwiązań.

[bartol222]

ok. Wyniki odczytujemy z tablic albo umiemy na pamięć i wtedy wychodzą iksy. Dochodzi do tego \(\displaystyle{ 2k \pi}\) i wszystko jasne

Dzięki serdeczne za pomoc w tym temacie.