"Sprawdź tożsamości"

[Skeetch]

Witam serdecznie
Zrobiłem już kilka przykładów, jednak mam problem z dwoma:
a) \(\displaystyle{ \frac{1+sin2 \alpha }{tg \alpha +1} = \frac{ sin^{2} \alpha -cos^{2} \alpha }{tg \alpha -1}}\)

b) \(\displaystyle{ sin2 \alpha \cdot (ctg2 \alpha + tg \alpha) = 1}\)

Będę bardzo wdzięczny jeśli ktoś będzie mógł pomóc chociaż z jednym

[piasek101]

b) Na lewej.
\(\displaystyle{ sin2x=2sinxcosx}\)
Pozamieniać tg i ctg na ilorazy funkcji , wymnozyć, wstawić \(\displaystyle{ cos2x=cos^2x-sin^2x}\), zobaczyć prawą.

[agulka1987]

b)
\(\displaystyle{ L=\frac{2tgx}{1+tg^2x} \cdot \left( \frac{ctg^2x-1}{2ctgx} + tgx\right) = \frac{\frac{2sinx}{cosx}}{1+\frac{sin^2x}{cos^2x}} \cdot \left( \frac{\frac{cos^2x}{sin^2x}-1}{\frac{2cosx}{sinx}} + \frac{sinx}{cosx}\right) = \frac{\frac{2sinx}{cosx}}{\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}} \cdot \left( \frac{\frac{cos^2x-sin^2x}{sin^2x}}{\frac{2cosx}{sinx}} + \frac{sinx}{cosx}\right) = \frac{2sinx}{cosx} \cdot cos^2x\left( \frac{cos^2x-sin^2x}{sin^2x} \cdot \frac{sinx}{2cosx} + \frac{sinx}{cosx}\right) = 2sinxcosx \cdot \left( \frac{1-2sin^2x}{2sinxcosx} + \frac{sinx}{cosx}\right) = 1-2sin^2x + 2sin^2x=1}\)

[piasek101]

b) Na lewej.
\(\displaystyle{ sin2x=2sinxcosx}\)
Pozamieniać tg i ctg na ilorazy funkcji , wymnozyć, wstawić \(\displaystyle{ cos2x=cos^2x-sin^2x}\), zobaczyć prawą.

Tak idzie szybciej.

[edit]

\(\displaystyle{ L=2sinxcosx(\frac{cos2x}{sin2x}+\frac{sinx}{cosx})=cos2x+2sin^2x=cos^2x-sin^2x+2sin^2x=1}\)
\(\displaystyle{ =P}\)