równanie trygonometryczne z logarytmami

[cammy]

\(\displaystyle{ log_{2}(cosx)+log_{\frac{1}{2}}(-sinx)=0}\)


Z góry wielkie dzieki!

[Tristan]

Wskazówka: Skorzystaj z wzoru \(\displaystyle{ \log_{a^p} x=\frac{1}{p} \log_{a} x}\). Czyli \(\displaystyle{ \log_{ \frac{1}{2}} (- \sin x)=(-1) \log_{2} (- \sin x)}\).

[greey10]

rozwiazanie
\(\displaystyle{ \log_{2}{\cos{x}}-log_{2}{-sin{x}}=0\\
log_{2}{\frac{\cos{x}}{\sqrt{cos^{2}{x}-1}}=0}\) teraz odlagorytmowujesz i masz
\(\displaystyle{ \cos^{2}{x}=\cos^{2}{x}-1}\) i roziwazujesz ;]

[jasny]

\(\displaystyle{ \cos x>0\,\wedge\,-\sin x>0\,\Leftrightarrow\,x\in(-\frac{\pi}{2}+2k\pi;2k\pi),\,k\in C}\)
\(\displaystyle{ \log_2(\cos x)+\log_{\frac{1}{2}}(-\sin x)=0}\)
\(\displaystyle{ \log_2(\cos x)+\frac{\log_2(-\sin x)}{\log_2\frac{1}{2}}=0}\)
\(\displaystyle{ \log_2(\cos x)-\log_2(-\sin x)=0}\)
\(\displaystyle{ \log_2\frac{\cos x}{-\sin x}=0}\)
\(\displaystyle{ \log_2(-ctg x)=0}\)
\(\displaystyle{ -ctg x=1}\)
\(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\,k\in C}\)
z zał. \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\,k\in C}\)

[greey10]

[/latex]. Czyli \(\displaystyle{ \log_{ \frac{1}{2} (- \sin x)=(-\frac{1}{2}) \log_{2} (- \sin x)}\).

a nie po prostu minus przecierz \(\displaystyle{ \frac{1}{2}^{-1}=2}\) czyli to co chcemy przecierz
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}^{-2}=4}\) nie mam racji?

[Tristan]

Masz całkowitą ( a nawet rzeczywistą ) rację - poprawiłem