Równanie trygonometryczne i sinusem i kosinusem kąta potrojo

Noelma · Post autor: **Noelma** » 26 wrz 2010, o 12:55

witam. mam problem z tym rownaniem prosze o jego rozwiazanie

\(\displaystyle{ \sin 3x+ \cos 3x = \sqrt{2}}\)

Althorion · Post autor: **Althorion** » 26 wrz 2010, o 13:06

Podpowiedź:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}\)
Można np. ze wzorów redukcyjnych a potem ze wzoru na sumę sinusów.

abc666 · Post autor: **abc666** » 26 wrz 2010, o 13:07

Można też tak:
Podnieśmy stronami do kwadratu. Dostajemy

\(\displaystyle{ \sin^2 3x+\cos^2 3x+2\sin 3x \cos 3x=2\\
1+2\sin 3x \cos 3x=2\\
2\sin 3x \cos 3x=1\\
\sin 6x = 1}\)
Po rozwiązaniu ostatniego równania trzeba wrócić do tego wyjściowego i odrzucić rozwiązania, które go nie spełniają.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 26 wrz 2010, o 13:12

Równie dobrze możesz zastosować niezawodne w takich przypadkach (suma sinusa i kosinusa) przekształcenie lewej strony równania: \(\displaystyle{ \sin 3x+\cos 3x=\sin 3x+\tg\frac{\pi}{4}\cos 3x}\) i wymnóż równanie stronami przez \(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{4}}\). Zastosuj wzór na sinus sumy.

Noelma · Post autor: **Noelma** » 26 wrz 2010, o 13:14

a skad wzielo sie to sin 6x= 1

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 26 wrz 2010, o 13:18

Wzór na sinus podwojonego kąta.