Wykazać że trójkąt jest prostokątny na podstawie równania

[makuu]

Witam serdecznie!
Mam pewien problem z zadaniem, którego nijak ugryźć nie mogę. Oto treść zadania:

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są kątami trójkąta, oraz \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha = sin ^{2} \beta + sin ^{2} \left[ \alpha + \beta \right]}\) to trójkąt ten jest prostokątny.

Próbowałem robić na różne sposoby, zbadałem, że jeśli to trójkąt prostokątny, to oba te kąty są takie same czyli mają po 45 stopni. Doszedłem m.in. do takiego wyrażenia: \(\displaystyle{ sin \beta \left[ sin \beta +2cos \beta \right] + cos \alpha \left[ 4cos \alpha +2sin \alpha \right] =0}\), ale wciąż nie mogę tego rozgryźć. Byłbym wdzięczny za pomoc.

[gott314]

Zacznijmy od tego, że \(\displaystyle{ 180^{o}=\alpha+\beta+\gamma \Rightarrow 180^{o}-\gamma=\alpha+\beta}\).
Zatem \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha = sin ^{2} \beta + sin ^{2} \left[ 180^{o}-\gamma]}\), a to jest to samo co \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha = sin ^{2} \beta + sin ^{2} \left\gamma}\).
Korzystając z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha}=2R \Rightarrow \sin\alpha=\frac{a}{2R}}\),
\(\displaystyle{ \frac{b}{\sin\beta}=2R \Rightarrow \sin\beta=\frac{b}{2R}}\),
\(\displaystyle{ \frac{c}{\sin\gamma}=2R \Rightarrow \sin\gamma=\frac{c}{2R}}\).
Stąd \(\displaystyle{ (\frac{a}{2R})^2=(\frac{b}{2R})^2+(\frac{c}{2R})^2 \Rightarrow \frac{a^2}{4R^2}=\frac{b^2}{4R^2}+\frac{c^2}{4R^2} \Rightarrow a^2=b^2+c^2}\), czyli otrzymaliśmy na samym końcu równanie z twierdzenia Pitagorasa, a ta zależność zachodzi tylko w trójkącie prostokątnym.

[makuu]

Dzięki wielkie, dostrzegam tu jednak pewne małe "ale". To się zgadza pod warunkiem, że \(\displaystyle{ sin \alpha}\) to sinus kąta przeciwległego do przeciwprostokątnej, czyli kąta prostego. Inaczej mielibyśmy równanie, gdzie a czyli przeciwprostokątna, równałaby się różnicy kwadratów pozostałych boków. Pozdrawiam.

[Crizz]

Niekoniecznie. Dowiedzieliśmy się po prostu, że trójkąt jest prostokątny oraz \(\displaystyle{ a}\) jest jego najdłuższym bokiem (lub: przeciwprostokątną). Nigdzie przecież nie zakładaliśmy, ze to właśnie \(\displaystyle{ a}\) jest przeciwprostokątną, ale z rozumowania wynika, że jest najdłuższym bokiem (bo trzeba dodać kwadraty długości pozostałych boków i dopiero wtedy otrzymamy kwadrat długości boku \(\displaystyle{ a}\)).

[gott314]

Dzięki wielkie, dostrzegam tu jednak pewne małe "ale". To się zgadza pod warunkiem, że \(\displaystyle{ sin\alpha}\) to sinus kąta przeciwległego do przeciwprostokątnej, czyli kąta prostego. Inaczej mielibyśmy równanie, gdzie a czyli przeciwprostokątna, równałaby się różnicy kwadratów pozostałych boków. Pozdrawiam.

W zadaniu nie jest powiedziane jakimi kątami mają być \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ \gamma}\); muszą być kątami trójkąta.

[makuu]

To zupełnie mój błąd- tylko w trójkącie prostokątnym, istnieje taka zależność między bokami, a skoro ta zależność została "odkryta", to wniosek jest zupełnie oczywisty. Przepraszam, no i dzięki;)

PS. Miałem koncepcję zrobienia tego na sinusach, zupełnie nie wiedzieć czemu ją od razu odrzuciłem;)