Tożsamość i Obliczyć wartosć

[foox92]

Siemano. Z trygonometri ogolnie jestem słaby i nie moge poradzic sobie z zadaniem.
Matura podstawowa zadanie za 6p.

Oto treść

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\displaystyle{ \alpha i \beta .}\)

a) Uzasadnij, że \(\displaystyle{ \left (sin \alpha +sin \beta\right) ^2 = 1+2sin \alpha * sin \beta}\).

b) Oblicz \(\displaystyle{ cos \alpha + cos \beta ,}\) wiedząc że, \(\displaystyle{ sin \alpha * sin \beta = \frac{2}{5}}\)

Dzięki

[Adam656]

a) \(\displaystyle{ \left (sin \alpha +sin \beta\right) ^2 = 1+2sin \alpha * sin \beta}\)

\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha + 2*sin \alpha *sin \beta + sin ^{2} \beta = 1+2sin \alpha * sin \beta}\)
Po skróceniu wychodzi
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha + sin ^{2} \beta = 1}\)
teraz
\(\displaystyle{ sin \beta = cos \alpha}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ sin ^{2} \beta = cos ^{2} \alpha}\)
i wychodzi
\(\displaystyle{ sin ^{2 } \alpha + cos ^{2} \alpha = 1}\)
co jest tak zwaną jedynką trygonometryczną

Sprawdz czy dobrze a za chwilę postaram się zrobić podpunkt b

[piasek101]

Takie z trójkąta polecam robić z trójkąta (odkrywcze) :

a) \(\displaystyle{ L=(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{2ab}{cc}}\)

\(\displaystyle{ P=sin^2\alpha+cos^2\alpha+2sin\alpha sin\beta=....=L}\)

b)
\(\displaystyle{ cos\alpha+cos\beta=cos\alpha+sin\alpha}\)(ta suma jest dodatnia)

zauważyć, że \(\displaystyle{ sin\beta=cos\alpha}\)

[foox92]

w odpowiedzi punk a sie zgadza ale teraz ten b


b) to chodzi o ktonkretny wynik nie wiem jak zrobic aby wyszło \(\displaystyle{ cos \alpha + cos \beta = \frac{3 \sqrt{} 5}{5}}\)

zreszta ja nie zabardzo czaje , jakby ktos to wytlumaczyl

[andy_rod]

jesli zgadza Ci sie punkt a) to mozesz go wykorzystac
ale na poczatek musisz zauwazyc, ze
(1) \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{2} - \beta}\) oczywiste bo trojkat prostokatny
(2) \(\displaystyle{ cos( \beta )=sin(\frac{ \pi }{2}- \beta )}\) wzor redukcyjny
stąd i z (1) masz
\(\displaystyle{ cos( \beta )=sin(\frac{ \pi }{2}- \beta )=sin(\alpha)}\)
i analogicznie pokazujesz, że
\(\displaystyle{ cos( \alpha )=sin( \beta )}\)
i teraz wykorzystujesz punkt a) \(\displaystyle{ \left (sin (\alpha) +sin (\beta)\right) ^2 = 1+2sin (\alpha) \cdot sin (\beta)\\\sin( \alpha )+sin( \beta )= \sqrt{1+2 \cdot sin( \alpha ) \cdot sin( \beta )}}\)
a zatem ostatecznie masz
\(\displaystyle{ cos( \alpha )+cos( \beta )=sin( \beta )+sin(\alpha)= \sqrt{1+2 \cdot sin( \alpha ) \cdot sin( \beta )}= \sqrt{1+2 \cdot \frac{2}{5} }= \frac{3 \sqrt{5} }{5}}\)

[Inkwizytor]

a) \(\displaystyle{ \left (sin \alpha +sin \beta\right) ^2 = 1+2sin \alpha * sin \beta}\)

\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha + 2*sin \alpha *sin \beta + sin ^{2} \beta = 1+2sin \alpha * sin \beta}\)
Po skróceniu wychodzi
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha + sin ^{2} \beta = 1}\)

Zadania rozwiązane niepoprawnie. Nie możesz w rozwiazaniu korzystac z czegoś co masz udowodnić!
Trzeba skorzystać z informacji iż jest to trójkąt prostokątny zatem \(\displaystyle{ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2}}\)
Na dalszą część wnioskowania spuszczę zasłonę milczenia:

\(\displaystyle{ sin \beta = cos \alpha}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ sin ^{2} \beta = cos ^{2} \alpha}\)
[/latex]

Za to zadanie miałbys okrągłe ZERO punktów

[piasek101]

Napiszę jeszcze (może innym się przyda) jak wykorzystać moją podpowiedź.

Jak zauważyłem suma jaką mamy policzyć jest dodatnia, podnoszę ją do kwadratu (prawą stronę tego co podałem) ; jest :

\(\displaystyle{ sin^2\alpha+cos^2\alpha+2sin\alpha cos\alpha = 1 +\frac{4}{5}=\frac{9}{5}}\) i pierwiastkować (bo to kwadrat szukanego).