Iloczyn tangensów: wykaz, ze:
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11378
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Iloczyn tangensów: wykaz, ze:
\(\displaystyle{ tg(\frac{\pi}{12}) tg(\frac{5\pi}{36}) tg(\frac{7\pi}{36}) = tg(\frac{\pi}{36})}\)
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Iloczyn tangensów: wykaz, ze:
Cel: przekształcanie tezy, aby dojść do tożsamości.
Pomoce w dążeniu do celu: wzory na iloczyny funkcji trygonometrycznych oraz jednorazowe wykorzystanie wzoru na sinus podwojonego argumentu.
\(\displaystyle{ tg 15^{\circ} tg 25^{\circ} tg 35^{\circ}= tg 5^{\circ} \\
\cos 5^{\circ} \sin 15^{\circ} \sin 25^{\circ} \sin 35^{\circ} = \sin 5^{\circ} \cos 15^{\circ} \cos 25^{\circ} \cos 35^{\circ} \\ \frac{1}{2} ( \sin 10^{\circ} + \sin 20^{\circ} ) \frac{1}{2} (\cos 10^{\circ} - \cos 60^{\circ})=\\ = \frac{1}{2}( - \sin 10^{\circ} + \sin 20^{\circ} ) \frac{1}{2} ( \cos 10^{\circ} + \cos 60^{\circ} ) \\ \sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ} - \sin 10^{\circ} \cos 60^{\circ} + \sin 20^{\circ} \cos 10^{\circ} - \sin 20^{\circ} \cos^{\circ} = \\ = - \sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ} - \sin 10^{\circ} \cos 60^{\circ} + \sin 20^{\circ} \cos 10^{\circ} + \sin 20^{\circ} \cos 60^{\circ} \\ 2 \sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}=2 \sin 20^{\circ} \cos 60^{\circ} \\ \sin 20^{\circ}=2 \sin 20^{\circ} \cos 60^{\circ} \\ \frac{1}{2}=\cos 60^{\circ}}\)
Pomoce w dążeniu do celu: wzory na iloczyny funkcji trygonometrycznych oraz jednorazowe wykorzystanie wzoru na sinus podwojonego argumentu.
\(\displaystyle{ tg 15^{\circ} tg 25^{\circ} tg 35^{\circ}= tg 5^{\circ} \\
\cos 5^{\circ} \sin 15^{\circ} \sin 25^{\circ} \sin 35^{\circ} = \sin 5^{\circ} \cos 15^{\circ} \cos 25^{\circ} \cos 35^{\circ} \\ \frac{1}{2} ( \sin 10^{\circ} + \sin 20^{\circ} ) \frac{1}{2} (\cos 10^{\circ} - \cos 60^{\circ})=\\ = \frac{1}{2}( - \sin 10^{\circ} + \sin 20^{\circ} ) \frac{1}{2} ( \cos 10^{\circ} + \cos 60^{\circ} ) \\ \sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ} - \sin 10^{\circ} \cos 60^{\circ} + \sin 20^{\circ} \cos 10^{\circ} - \sin 20^{\circ} \cos^{\circ} = \\ = - \sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ} - \sin 10^{\circ} \cos 60^{\circ} + \sin 20^{\circ} \cos 10^{\circ} + \sin 20^{\circ} \cos 60^{\circ} \\ 2 \sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}=2 \sin 20^{\circ} \cos 60^{\circ} \\ \sin 20^{\circ}=2 \sin 20^{\circ} \cos 60^{\circ} \\ \frac{1}{2}=\cos 60^{\circ}}\)