Wartości trygonometryczne

[rukki]

Witam, mam już ostatnie 4 zadania które mi zostały do zrobienia, ale są tak pogmatfane, że nie dam rady ich zrobić, czy mógłby mi ktoś je rozwiącać wraz z wyjaśnieniem? Z góry dziękuję.

A oto zadania:

1. Wiedząc, że \(\displaystyle{ cos \alpha =0,6}\) i \(\displaystyle{ \alpha \in \left(0 ^{o}, 90 ^{o} \right)}\) oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)

2. Oblicz \(\displaystyle{ \frac{sin \alpha -cos \alpha }{sin \alpha +cos \alpha }}\) gdy \(\displaystyle{ tg \alpha =5}\)

3.Dane jest wyrażenie \(\displaystyle{ sin \alpha +sin \alpha \cdot tg ^{2} \alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in \left(0 ^{o}, 90 ^{o} \right)}\)

a)Wykaż, że dla dowolnego kąta ostergo \(\displaystyle{ \alpha}\) dane wyrażenie równa się \(\displaystyle{ \frac{tg \alpha }{cos \alpha }}\)

b)Oblicz wartość tego wyrażenia dla \(\displaystyle{ \alpha =60 ^{o}}\)

4.Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest ostry i \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{8}{17}}\). Oblicz \(\displaystyle{ \sqrt{tg ^{2} \alpha +1 }}\)

[miodzio1988]

1. Jedynka trygonometryczna

[Crizz]

W 1. wystarczy ci jedynka trygonometryczna oraz zależność \(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{1}{ctg\alpha}}\).

W 2. wyciągnij przed nawias \(\displaystyle{ cos\alpha}\) w liczniku i mianowniku.

W 3a wyciągnij \(\displaystyle{ sin\alpha}\) "przed nawias" z wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{tg\alpha}{cos\alpha}}\) i skorzystaj z jedynki trygonometrycznej, z 3b chyba sobie poradzisz.

[Mersenne]

4. \(\displaystyle{ \sqrt{\tg^{2} \alpha+1}=\sqrt{\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}+1}=\sqrt{\frac{1-\cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}+1}}\)

[rukki]

Co do pierwszego, to chyba coś źle mi wychodzi, korzystam ze wzoru jedynki trygonometrycznej i na końcu wychodzi mi \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha =-15}\), a żeby obliczyć samego \(\displaystyle{ sin \alpha}\) musze z tego pierwiastek wyciągnąć, a z liczby ujemnej to jakoś nie bardzo...

[miodzio1988]

No tak nie powinno wychodzić. Pokaż jak liczysz

[Mersenne]

1. \(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha+0,36=1}\)

\(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha=0,64}\)

\(\displaystyle{ |\sin \alpha|=0,8 \iff \sin\alpha=-0,8 \vee \sin\alpha=0,8}\)

Kąt \(\displaystyle{ \alpha \in(0^{\circ};90^{\circ})}\), zatem \(\displaystyle{ \sin\alpha=0,8}\).

Dalej sam robisz.

[rukki]

O Boże, przepraszam za błąd, zamiast \(\displaystyle{ 0,6}\) podstawiłem \(\displaystyle{ 4}\) stąd ten wynik. Sam nie wiem skąd mi się ta czwórka wzięła.-- 1 wrz 2010, o 21:30 --A co do 2 zadania, to w jakim celu mam wyciągać cosinusa przed nawias? Wyciągnąłem i szczerze mówiąc nie wiem co z tym dalej zrobić.

[piasek101]

2. To skróć przez cosinusa (na jedno wyjdzie).

1; 3 i 4 (kąt ostry) proponuję z trójkąta prostokątnego + Pitagoras - zawsze ładnie idzie.

[Mersenne]

2. \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}=\frac{\cos \alpha \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-1\right)}{\cos \alpha \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+1\right)}=\frac{\tg\alpha-1}{\tg \alpha+1}}\)