Równanie trygonometryczne

eerroorr · Post autor: **eerroorr** » 4 lis 2006, o 13:58

Jak rozwiązać takie równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{sinx}+ctgx+cos(\frac{\Pi}{2}+x)=0}\)
Zacząłem od tego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{sinx}+ctgx+cos\frac{\Pi}{2}+cosx=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{sinx}+ctgx+cosx=0}\)

i zupełnie nie wiem co robić dalej?

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 4 lis 2006, o 15:04

Po pierwsze źle zacząłeś (zobacz sobie jak rozwinąłęś ten cosinus sumy). Popraw, przenieś wszystko oprócz cotangensa na prawo, zamień cotangens na iloraz cosinusa i sinusa i zobacz co ci wyjdzie po prawej, a co po lewej po wrzuceniu na wspólną kreskę

eerroorr · Post autor: **eerroorr** » 4 lis 2006, o 15:12

\(\displaystyle{ \frac{cosx}{sinx}=sinx+\frac{1}{sinx}}\)
Teraz musze doprowadzic prawa strone do wspolnego mianownika czy moge to zrobic inaczej?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 4 lis 2006, o 16:37

Przejście z
\(\displaystyle{ \frac{1}{sinx}+ctgx+cos(\frac{\Pi}{2}+x)=0}\)
na
\(\displaystyle{ \frac{cosx}{sinx}=sinx+\frac{1}{sinx}}\)
jest nadal złe, najlepiej to niczego nie przenosić na 2 stronę i tylko doprowadzić do wspólnego mianownika

eerroorr · Post autor: **eerroorr** » 4 lis 2006, o 17:44

doprowadzając do wspólnego mianownika wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{cosx-sin^{2}x-1}{sinx}=0}\)
I co teraz?

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 4 lis 2006, o 18:32

Dobra. Kończmy tą sprawę bo się robi zamieszanie i każdy chyba myśli o czym innym.
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin{x}}+\text{ctg}{x}+\cos(\frac{\pi}{2}+x)=0\\\frac{1}{\sin{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}-\sin{x}=0\\\frac{1+\cos{x}-\sin^{2}{x}}{\sin{x}}=0\\1+\cos{x}-\sin^{2}{x}=0\,\wedge\,\sin{x}\neq0\\\cos^{2}{x}+\cos{x}=0\,\wedge\,\sin{x}\neq0}\)
Chyba już sobie poradzisz.

eerroorr · Post autor: **eerroorr** » 4 lis 2006, o 18:52

\(\displaystyle{ 1+\cos{x}- \sin^{2}{x}=0\,\wedge\,\sin{x}\neq0\\\cos^{2}{x}+\cos{x}=0\,\wedge\,\sin{x}\neq0}\)
Nie rozumiem, jak to zrobiłeś?

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 4 lis 2006, o 21:46

"Jedynka trygonometryczna": \(\displaystyle{ \sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}=1\,\Leftrightarrow\,1-\sin^{2}{x}=\cos^{2}{x}}\) i wstawiamy do równania

eerroorr · Post autor: **eerroorr** » 4 lis 2006, o 22:12

A co zrobiłes z sinx, który był w mianowniku?

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 5 lis 2006, o 14:20

Aby ułamek był równy 0 licznik musi być równy 0. Trzeba tylko uczynić założenie, że mianownik nie jest równy 0 (z przyczyn mam nadzieję oczywistych). Rozwiązujesz nieelementarne równania trygonometryczne a o funkcji wymiernej nie przerabiałeś?

eerroorr · Post autor: **eerroorr** » 5 lis 2006, o 20:50

Faktycznie, zupełnie o tym zapomniałem
Wielkie dzięki za pomoc!