Nierówność. Dowód

[macmillan]

Od jakiegoś czasu mam problem z tym zadaniem. Proszę o w miarę jasną pomoc . Z góry dziękuję.

a)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \alpha}\),\(\displaystyle{ \beta}\),\(\displaystyle{ \gamma}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left( 0,\frac{ \pi }{2}\right)}\) prawdziwa jest nierówność

\(\displaystyle{ tg\alpha(ctg\beta + ctg\gamma) + tg\beta(ctg\gamma + ctg\alpha) + tg\gamma(ctg\alpha + ctg\beta) \ge 6}\)

b)

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{1-|cosx|}{1+|cosx|}\le sin^{2}x}\), oraz znajdź te wartości x, dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ \frac{1-|cosx|}{1+|cosx|} = sin ^{2}x}\)

[Crizz]

Generalnie chodzi o to, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha, \beta,\gamma \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\), to \(\displaystyle{ tg\alpha,tg\beta,tg\gamma \in (0,+\infty)}\), zatem zadanie można przeformułować w następujący sposób:

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \ge 6}\)

Spróbuj najpierw udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \ge 2}\)-- 30 sierpnia 2010, 20:25 --Podobnie można w drugim: wystarczy skorzystać z jedynki trygonometrycznej i zauważyć, że skoro \(\displaystyle{ x\in \Re}\), to \(\displaystyle{ sinx,cosx\in <-1,1>}\).