\(\displaystyle{ cos^2(arctg \frac{ \sqrt{x^2 + y2} }{z})}\)
Chciałbym uprościć powyższe wyrażenie do postaci \(\displaystyle{ \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2}}\)
Niestety, nie wiem jak poradzić sobie z arctg. Próbowałem zamiany \(\displaystyle{ cos^2}\) na \(\displaystyle{ tg^2}\), ale komplikuje to tylko wyrażenie.
Z góry dzięki za pomoc!
Uproszczenie wyrażania z arctg
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Uproszczenie wyrażania z arctg
Weźmy \(\displaystyle{ b=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}\), wtedy jeśli
\(\displaystyle{ a=arc tg b}\) to \(\displaystyle{ b=tg a}\). W dodatku \(\displaystyle{ b= \frac{sin a}{cos a}= \frac{\sqrt{1-cos^2 a}}{cos a} \ \Rightarrow \ cos^2 a= \frac{1}{b^2+1}}\), czyli
\(\displaystyle{ cos^2(arc tg \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z})=cos^2 a=...= \frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}}\).
\(\displaystyle{ a=arc tg b}\) to \(\displaystyle{ b=tg a}\). W dodatku \(\displaystyle{ b= \frac{sin a}{cos a}= \frac{\sqrt{1-cos^2 a}}{cos a} \ \Rightarrow \ cos^2 a= \frac{1}{b^2+1}}\), czyli
\(\displaystyle{ cos^2(arc tg \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z})=cos^2 a=...= \frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}}\).