Oblicz wartość wyrażenia

[na07]

Oblicz wartość wyrażenia

\(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{5}+cos \frac{3\pi}{5}}\)

Wykorzystaj wzór:

\(\displaystyle{ cos3 \alpha = cos \alpha \left(4 cos^{2} \alpha -3 \right)}\)

[Justka]

Masz takie wyrażenie
\(\displaystyle{ \cos\alpha+\cos 3\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{5}}\)

Wykorzystując podany wzór mamy

\(\displaystyle{ \cos\alpha+\cos 3\alpha =\cos \alpha+ cos\alpha(4cos^2\alpha-3)=2\cos\alpha(2cos^2\alpha-1)=2\cos\alpha \cdot \cos 2\alpha= \frac{4\sin\alpha \cos\alpha \cos2\alpha}{2\sin\alpha}=\frac{\sin 4\alpha}{2\sin\alpha}}\)

stąd

\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5}+\cos \frac{3\pi}{5}=\frac{\sin \frac{4\pi}{5}}{2\sin \frac{\pi}{5}}=\frac{1}{2}}\)

[Inkwizytor]

Justka winnaś jeszcze wspomnieć, że na końcu w liczniku skorzystałaś ze wzoru \(\displaystyle{ sin \alpha = sin (\pi - \alpha)}\)