rozwiąż równanie

[Ola SWDN]

Rozwiąż równanie 1/sinx=1/sin4x w przedziale

[Amon-Ra]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin x}=\frac{1}{\sin 4x}}\)

Stąd prosty wniosek:

\(\displaystyle{ \sin 4x =\sin x}\)

Założenie rzecz jasna takie, że \(\displaystyle{ x k\pi, \, k\in \mathbb{Z}}\).

Korzystamy z okresowości funkcji sinus: \(\displaystyle{ \forall _{x \mathbb{R}} \forall _{k\in \mathbb{Z}} \sin x =\sin (x+2k\pi)}\); sprawdzamy prawdziwość rozwiązania dla kolejnych liczb naturalnych i do nich przeciwnych:

\(\displaystyle{ 4x =x+ 2k\pi}\)

Sprawdzając poprawność równania dla liczb k=1 i k=-1 otrzymasz wyniki \(\displaystyle{ x=\frac{2}{3} \pi}\) oraz \(\displaystyle{ x=-\frac{2}{3} \pi}\). Inne rozwiązania już wykraczają poza zadany przedział \(\displaystyle{ \langle -\pi ; \pi\rangle}\).

[Lorek]

Pozostaje jeszcze jedna mozliwość
\(\displaystyle{ 4x=\pi - x +2k\pi

\(x=\frac{\pi+2k\pi}{5}}\)
Czyli w tym przedziale
\(\displaystyle{ x\in\{\frac{-3\pi}{5};\frac{-\pi}{5};\frac{\pi}{5};\frac{3\pi}{5}\}}\)