równanie trygonometryczne

[robin5hood]

Rozwiąż \(\displaystyle{ \cos \left(x + 15^{\circ}\right) = \frac {1}{1 + \tan x}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in\left(0,\frac {\pi}{2}\right) .}\)

[cosinus90]

Rozpisz lewą stronę jako cosinus sumy kątów, dalej powinno pójść bez problemu.

[robin5hood]

\(\displaystyle{ cosx \cos15^o-sinx \sin15^o = \frac {1}{1 + \tan x}}\)

i co teraz obliczyć \(\displaystyle{ cos15^o}\)?

[cosinus90]

Tak, \(\displaystyle{ sin 15^{o}}\) również.

[robin5hood]

ok i co teraz
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}cosx-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}sinx = \frac {1}{1 + \tan x}}\)

[cosinus90]

Zamienić \(\displaystyle{ tgx}\) po prawej stronie, powymnażać, poprzerzucać, pokombinować - jak to bywa w równaniach trygonometrycznych próbuj sam, nie licz że Ci podam całe rozwiązanie krok po kroku

[robin5hood]

zadanie nie jest proste więc kombinowanie "jak to bywa w równaniach trygonometrycznych" okazuje sie dość skomplikowane

[cosinus90]

Zgadzam się ale to jedynie dodaje apetytu

[robin5hood]

ja do zadnych konkretów nie doszedłem

[frej]

Według wolframalpha wyniki są nieciekawe

[Grzegorz t]

można rozpisać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{1+tgx}=- \frac{1}{2}tg(x- \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}}\)

ostatecznie mamy \(\displaystyle{ -2cos (x+15^{\circ}) = tg(x-45^{\circ}) - 1}\)

Sporządzając dokładne wykresy funkcji występujących po obu stronach tego równania, zauważymy, że jednym z pierwiastków równania jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), a drugi pierwiastek należy do przedziału \(\displaystyle{ (0, \frac{\pi}{6})}\), niestety nie wiem dalej, jak wyliczyć ten pierwiastek, wychodzi na kalkulatorze, że ma coś około\(\displaystyle{ 3^{\circ}}\)

[Majeskas]

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}cosx-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}sinx = \frac {1}{1 + \tan x}}\)

Moja propozycja:

\(\displaystyle{ t=tg \frac{x}{2} \wedge x \neq \pi +2k \pi \wedge k \in C}\)

\(\displaystyle{ sinx= \frac{2t}{1+t^2}}\)

\(\displaystyle{ cosx= \frac{1-t^2}{1+t^2}}\)

\(\displaystyle{ tgx= \frac{2t}{1-t^2}}\)

W ten sposób otrzymamy jakieś równanie wymierne. Możliwe, że uciążliwe do rozwiązania, ale można spróbować.

[robin5hood]

mam pytanie czy
\(\displaystyle{ x=-2\arctan(1-\sqrt{2})}\) jest rozwiazaniem tego równania?