równanie trygonometryczne - gdzie jest błąd?

[mksm]

witam

pomóżcie mi skorygować mój tok rozumowania, zapewne najłatwiej będzie jak po prostu przedstawię tu przykład i moje obliczenia.

rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ 3ctg(2x+ \pi ) = - \sqrt{3}}\)

i moja rozkmina:
\(\displaystyle{ ctg(2x+ \pi)= \frac{- \sqrt{3} }{3}}\)
czyli będzie to równe ctg(-60), co w przeliczeniu na radiany da wynik\(\displaystyle{ \frac{- \pi }{3}}\)

więc:
\(\displaystyle{ \frac{- \pi }{3} + k \pi = 2x + \pi}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{-2 \pi }{3} + \frac{k \pi }{2}}\)

ale rzeczywistość nie jest taka piękna, a odpowiedzią jest:
\(\displaystyle{ \frac{- \pi }{6} + \frac{k \pi }{2}}\)

a więc, gdzie tkwi moje niedopatrzenie?

[lukasz1804]

Zauważ, że \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}=(-\frac{2}{3}\pi+\frac{k\pi}{2})+\frac{\pi}{2}}\).

Wynik otrzymany przez Ciebie jest zatem równoważny z podanym w odpowiedzi.

[mksm]

witam ponownie

mam jeszcze jedno pytanie odnośnie moich rozkmin trygonometrycznych.

równanko:
\(\displaystyle{ tg^{2}(x) \cdot cos(x) + 4cos^3{}(x) = ctg(x) \cdot sin(x) + \frac{1}{cos(x)}}\)

po skróceniu i innych zabiegach stylistycznych wychodzi mi:
\(\displaystyle{ cos^2{}(x) = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos(x) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \vee -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

co daje \(\displaystyle{ x = 45 \vee x= -45}\)
czyli \(\displaystyle{ x= - \frac{ \pi }{4} + 2k \pi \vee x = \frac{ \pi }{4} + 2k \pi}\)

a odpowiedź mówi dobitnie:
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4} + \frac{k \pi }{2}}\)

tak więc jakby ktoś mógł zerknąć

-- 10 lip 2010, o 21:45 --

a chwila! chyba wiem
chodzi o to, że co 45 stopni, czyli \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) powtarza się 45 lub -45 stopni?
ale cymbałek ze mnie :<

[cosinus90]

Tak, Twój wynik jest znów poprawny