Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ cos1^o}\) jest niewymierna.
Oczywiście założyłem, że jest wymierna. Zauważyłem, że wtedy \(\displaystyle{ cos2^o}\), \(\displaystyle{ cos4^o}\) ... też musiałaby być wymierne, ale jakoś to mi nic nie daje
Pokazać, że jest to liczba nieywmierna,
-
piotrek9299
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 14 paź 2008, o 09:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 78 razy
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Pokazać, że jest to liczba nieywmierna,
\(\displaystyle{ sin18^\circ= \frac{ \sqrt{5}-1 }{4}}\)
\(\displaystyle{ cos18^\circ= \frac{ \sqrt{5+ \sqrt{5} } }{2 \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ sin15^\circ= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ cos15^\circ= \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4}}\)
Co do \(\displaystyle{ sin18^\circ}\), odsyłam tutaj:
80546.htm
\(\displaystyle{ sin15^\circ=sin(45^\circ-30^\circ)}\)
\(\displaystyle{ cos3^\circ=cos(18^\circ-15^\circ)=cos18^\circ \cdot cos15^\circ+sin18^\circ \cdot sin15^\circ=p \wedge p \in IW}\)
\(\displaystyle{ cos3 \alpha =4cos^3 \alpha -3cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ 4cos^31^\circ-3cos1^\circ=cos3^\circ}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ t=cos1^\circ \wedge t \in W}\)
Mamy wtedy równanie:
\(\displaystyle{ 4t^3-3t=p}\)
I wychodzi sprzeczność, gdyż prawa strona jest niewymierna, lewa wymierna.
Czyli na mocy dowodu nie wprost, możemy stwierdzić, że \(\displaystyle{ cos1^\circ}\) nie jest liczbą wymierną.
\(\displaystyle{ cos18^\circ= \frac{ \sqrt{5+ \sqrt{5} } }{2 \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ sin15^\circ= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ cos15^\circ= \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4}}\)
Co do \(\displaystyle{ sin18^\circ}\), odsyłam tutaj:
80546.htm
\(\displaystyle{ sin15^\circ=sin(45^\circ-30^\circ)}\)
\(\displaystyle{ cos3^\circ=cos(18^\circ-15^\circ)=cos18^\circ \cdot cos15^\circ+sin18^\circ \cdot sin15^\circ=p \wedge p \in IW}\)
\(\displaystyle{ cos3 \alpha =4cos^3 \alpha -3cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ 4cos^31^\circ-3cos1^\circ=cos3^\circ}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ t=cos1^\circ \wedge t \in W}\)
Mamy wtedy równanie:
\(\displaystyle{ 4t^3-3t=p}\)
I wychodzi sprzeczność, gdyż prawa strona jest niewymierna, lewa wymierna.
Czyli na mocy dowodu nie wprost, możemy stwierdzić, że \(\displaystyle{ cos1^\circ}\) nie jest liczbą wymierną.