1. \(\displaystyle{ sin3x-sinx=sin2x}\)
2. \(\displaystyle{ sin2x+cos2x+sinx+cosx+1=0}\)
3. \(\displaystyle{ sinx+sin2x+2sin3x+sin4x+sin5x=0}\)
4. \(\displaystyle{ 1+sin2x=2 \lim_{t \to \infty } [ \sqrt{(t+sinx)*(t+cosx)} -t]}\)
5. \(\displaystyle{ sinx*tg2x+ \sqrt{3} (sinx- \sqrt{3} tg2x)=3 \sqrt{3}}\)
6. \(\displaystyle{ \frac{tgx}{tg5x} =1}\)
Równania trygonometryczne
-
dragon_311
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 17 maja 2010, o 13:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
Równania trygonometryczne
Ostatnio zmieniony 15 cze 2010, o 13:49 przez dragon_311, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Równania trygonometryczne
1. \(\displaystyle{ sin3x-sinx=sin2x}\)
\(\displaystyle{ 2sin \frac{3x-x}{2} \cdot cos \frac{3x+x}{2}=sin2x}\)
\(\displaystyle{ 2sinx \cdot cos2x=2sinx \cdot cosx}\)
\(\displaystyle{ sinx(cos2x-cosx)=0}\)
\(\displaystyle{ sinx \cdot (-2)sin \frac{2x+x}{2} \cdot sin \frac{2x-x}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ sinx \cdot sin \frac{3}{2}x \cdot sin \frac{x}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ sinx=0 \vee sin \frac{3}{2}x=0 \vee sin \frac{x}{2}=0}\)
Pokombinuj w podobny sposób z przykładami 2 i 3.
Przykład 4 to jakiś bezsens. Ciąg \(\displaystyle{ \{a_n\}}\) jest stały i podany parametrycznie?
\(\displaystyle{ a_n= \sqrt{(t+sinx)(t+cosx)}-t}\)
Jeśli by tak jakimś cudem miało być, to: \(\displaystyle{ \lim_{n \to + \infty }a_n= \sqrt{(t+sinx)(t+cosx)}-t}\)
Tylko, że to nie wyjaśnia sprawy. Nadal mamy równanie z 2 niewiadomymi.-- 15 czerwca 2010, 13:02 --5. \(\displaystyle{ sinx*tg2x+ \sqrt{3} (sinx- \sqrt{3} tg2x)=3 \sqrt{3}}\)
Najpierw dziedzina. Aby istniał tangens musi zachodzić:
\(\displaystyle{ 2x \neq \frac{ \pi }{2}+k \pi \wedge k \in C}\)
\(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{4}+\frac{k \pi}{2} \wedge k \in C}\)
\(\displaystyle{ D:x \in R \backslash \{ x:\quad x=\frac{ \pi }{4}+\frac{k \pi}{2} \wedge k \in C\}}\)
\(\displaystyle{ sinx \cdot tg2x+ \sqrt{3}sinx-3tg2x-3 \sqrt{3}=0}\)
\(\displaystyle{ sinx(tg2x+ \sqrt{3})-3(tg2x+ \sqrt{3})=0}\)
Mam nadzieję, że widać, co należy dalej zrobić. Oczywiście ostateczne rozwiązanie musi się zawierać w dziedzinie.
6. \(\displaystyle{ \frac{tgx}{tg5x} =1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \neq \frac{ \pi }{2}+k \pi \wedge k \in C \\ 5x \neq \frac{ \pi }{2}+k \pi \wedge k \in C \\ tg5x \neq 0 \end{cases}}\)
Z tego układu wyjdzie dziedzina.
\(\displaystyle{ tg5x=tgx}\)
\(\displaystyle{ tg5x-tgx=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin5x}{cos5x}-\frac{sinx}{cosx}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin5x \cdot cosx-sinx \cdot cos5x}{cos5x \cdot cosx}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin(5x-x)}{cos5x \cdot cosx}=0}\)
\(\displaystyle{ 2sin \frac{3x-x}{2} \cdot cos \frac{3x+x}{2}=sin2x}\)
\(\displaystyle{ 2sinx \cdot cos2x=2sinx \cdot cosx}\)
\(\displaystyle{ sinx(cos2x-cosx)=0}\)
\(\displaystyle{ sinx \cdot (-2)sin \frac{2x+x}{2} \cdot sin \frac{2x-x}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ sinx \cdot sin \frac{3}{2}x \cdot sin \frac{x}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ sinx=0 \vee sin \frac{3}{2}x=0 \vee sin \frac{x}{2}=0}\)
Pokombinuj w podobny sposób z przykładami 2 i 3.
Przykład 4 to jakiś bezsens. Ciąg \(\displaystyle{ \{a_n\}}\) jest stały i podany parametrycznie?
\(\displaystyle{ a_n= \sqrt{(t+sinx)(t+cosx)}-t}\)
Jeśli by tak jakimś cudem miało być, to: \(\displaystyle{ \lim_{n \to + \infty }a_n= \sqrt{(t+sinx)(t+cosx)}-t}\)
Tylko, że to nie wyjaśnia sprawy. Nadal mamy równanie z 2 niewiadomymi.-- 15 czerwca 2010, 13:02 --5. \(\displaystyle{ sinx*tg2x+ \sqrt{3} (sinx- \sqrt{3} tg2x)=3 \sqrt{3}}\)
Najpierw dziedzina. Aby istniał tangens musi zachodzić:
\(\displaystyle{ 2x \neq \frac{ \pi }{2}+k \pi \wedge k \in C}\)
\(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{4}+\frac{k \pi}{2} \wedge k \in C}\)
\(\displaystyle{ D:x \in R \backslash \{ x:\quad x=\frac{ \pi }{4}+\frac{k \pi}{2} \wedge k \in C\}}\)
\(\displaystyle{ sinx \cdot tg2x+ \sqrt{3}sinx-3tg2x-3 \sqrt{3}=0}\)
\(\displaystyle{ sinx(tg2x+ \sqrt{3})-3(tg2x+ \sqrt{3})=0}\)
Mam nadzieję, że widać, co należy dalej zrobić. Oczywiście ostateczne rozwiązanie musi się zawierać w dziedzinie.
6. \(\displaystyle{ \frac{tgx}{tg5x} =1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \neq \frac{ \pi }{2}+k \pi \wedge k \in C \\ 5x \neq \frac{ \pi }{2}+k \pi \wedge k \in C \\ tg5x \neq 0 \end{cases}}\)
Z tego układu wyjdzie dziedzina.
\(\displaystyle{ tg5x=tgx}\)
\(\displaystyle{ tg5x-tgx=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin5x}{cos5x}-\frac{sinx}{cosx}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin5x \cdot cosx-sinx \cdot cos5x}{cos5x \cdot cosx}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin(5x-x)}{cos5x \cdot cosx}=0}\)