Nierówność trygonometryczna

[sheepy]

Wykaż, że dla wszystkich liczb \(\displaystyle{ x}\) prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ \left( sinx +cosx\right) ^{2} + \left(sinx-cosx \right) ^{2} >sin \left( x + y\right)sin \left( x - y\right)}\)

[Althorion]

\(\displaystyle{ (\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x) + (\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x) > \sin (x+y) \sin (x-y) \\
2 > \sin (x+y) \sin (x-y)}\)
Jako że:
\(\displaystyle{ -1 \le \sin \alpha \le 1}\),
to:
\(\displaystyle{ \sin \alpha \sin \beta \le 1}\)
Więc powyższa nierówność jest zawsze prawdziwa.

[sheepy]

Można by to ciut bardziej rozpisać?
Dlaczego
\(\displaystyle{ sin\left(x + y \right)sin\left(x-y\right) \le 1}\)
?

[Afish]

Wykorzystaj wzór skróconego mnożenia i jedynkę trygonometryczną.