wyrażenie trygonometryczne - dwie równoważne postacie

Nirvan · Post autor: **Nirvan** » 9 cze 2010, o 20:20

Mam wyrazić dwoma sposobami \(\displaystyle{ \cos 5\alpha}\), ale nie wiem czy robię dobrze .

1. Zrobiłem że \(\displaystyle{ \cos 4 \alpha \cdot \cos \alpha -\sin 4 \alpha \cdot \sin \alpha}\)
i teraz w zamian za np\(\displaystyle{ \cos 4 \alpha}\)chce wstawić to :
\(\displaystyle{ \cos(2 \cdot 2 \alpha )= \cos^{2} \alpha -\sin^{2} \alpha}\)

i nie wiem jak mam teraz zrobić to \(\displaystyle{ \cos^{2}2 \alpha}\)

Czy

\(\displaystyle{ \cos^{2}2 \alpha =\cos^{3} \alpha -\sin^{2} \alpha \cdot \cos \alpha}\)

albo

\(\displaystyle{ \cos^{2}2 \alpha =\cos^{3} \alpha - \sin^{3} \alpha -}\)

albo jeszcze inaczej

2.Zrobiłem jeszcze tak(ale to pewnie jest źle):
\(\displaystyle{ \cos(2 \cdot 2,5 \alpha )= \cos^{2} \frac{5}{2} \alpha -\sin^{2} \frac{5}{2} \alpha}\)
potem wzorem jedynkowym i
\(\displaystyle{ \cos(2 \cdot 2,5 \alpha )= \cos^{2} \frac{5}{2} \alpha -(1+\cos^{2} \frac{5}{2} \alpha}\)

to równa się \(\displaystyle{ 2\cos^{2} \frac{5}{2} \alpha}\)

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 10 cze 2010, o 19:43

Kompletnie nie wiem, co chcesz uzyskać. Końcowy wynik ma być sumą/iloczynem? Wyrażenie to ma być jakąś inną funkcją trygonometryczną?

Dwoma sposobami? Masz tu jeden .

\(\displaystyle{ \frac{e^{-5ix}+e^{5ix}}{2}}\)

Poza tym: \(\displaystyle{ 2\cos^{2} \frac{5}{2} \alpha \neq \cos 5\alpha}\). Zapomniałeś o jedynce.

\(\displaystyle{ 2\cos^{2} \frac{5}{2} \alpha -1 = \cos 5\alpha}\)

Nirvan · Post autor: **Nirvan** » 10 cze 2010, o 20:05

O cześć Jakim
Wynik to miał zostać po prostu w cosinusach, żeby nie bylo sinusów albo bylo jak najmniej ;d .
Trzeba było przekształcić do takiej postaci :

\(\displaystyle{ 8cos^5\al-4sin\al cos^4\al-8cos^3\al+4sin\al cos^2\al+cos\alpha}\)

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 10 cze 2010, o 20:16

To, co podałeś, nijak ma się do jakiejkolwiek funkcji trygonometrycznej .

Nirvan · Post autor: **Nirvan** » 10 cze 2010, o 20:18

ale coś takiego miało wyjść bo na lekcji jak liczyliśmy prościejsze to też takie podobne wyniki wychodziły

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 10 cze 2010, o 20:21

Może podaj całe zadanie, bo tak to ciężko mi wywnioskować, co ma wyjść .

Nirvan · Post autor: **Nirvan** » 10 cze 2010, o 21:23

No sory, chciałem wcześniej napisać że to trzeba było tak przerobić żeby zostala jedna \(\displaystyle{ \alpha}\)
w każdym .

A zadanie brzmi "wyraź \(\displaystyle{ cos(5 \alpha )}\)"

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 10 cze 2010, o 21:45

\(\displaystyle{ \cos 5 x = \cos (4x + x) = \cos 4x \cos x - \sin 4x \sin x = (8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x +1)\cos x - (8\cos^3 x \sin x - 4 \cos x \sin x)\sin x=8 \cos^5 x- 8 \cos^3 x+\cos x-8 \sin^2 x \cos^3 x+4 \sin^2 x \cos x}\)

Skorzystałem ze wzorów na funkcje kąta poczwórnego.

666. post