zadanko z funkcji trygonometrycznej

[paulkacz]

dzieki z gory za pomoc
zadanie

udowodnij że:

cos(pi/5) * cos(2pi/5) = 1/4

[greey10]

\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5}*((2\cos\frac{\pi}{5})^{2}-1)=\frac{1}{4}}\)

[paulkacz]

dzieki greey10 ale czy moglbys rozwinac ta mysl troche bo jestem slaby z trygonometri i zawiele to mi nie mowi

[greey10]

powiem ci szczerze ze tamto to nic nie rozwiazuje tak naprawde trzeba obliczyc cos36 co kiedys robilem a teraz jakos niemoge sobie przypomniec ;/ \(\displaystyle{ \cos{\frac{\pi}{5}}=\cos{36}}\)
dobra juz wiem \(\displaystyle{ cos36=\frac{\sqrt{5}+1}{4}}\) podstawiasz i rozwiazujesz ;] i sprawdzasz czy prawa strona rowna sie lewej

[paulkacz]

no dobra, dzieki. jakby cos ci sie przypomnialo daj znac

faktycznie cos36 * cos 72 = 1/4, ale chyba nie o to chodzi. jakies inne pomysly?

[greey10]

hmmm chyba nie dokonca rozumiemsz potem rozlozylem na
\(\displaystyle{ \cos^{3}36+\cos{36}=\frac{1}{4}}\) i teraz podstaw cos36 ;] i sprawdz czy lewa strona trowna sie prawej

[fen1ks]

Podstaw za \(\displaystyle{ cos36=t}\)

i masz teraz \(\displaystyle{ 2t^3-t-\frac{1}{4}=0}\) Mnozymy przez 4, i na mocy tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu o wsp. calkowitych probojemy znalezc jakis pierwiastek. Latwo wyjdzie, ze \(\displaystyle{ \frac{-1}{2}}\). Dzielimy i wychodzi

\(\displaystyle{ (t+\frac{1}{2})(2t^2-t-\frac{1}{2})=0}\)

Teraz latwo znajdziemy pozostale pierwiastki.

2 wychodzą ujemne a jeden dodatki. A wiemy ze \(\displaystyle{ cos36>0}\)

Zatem ten dodatki to wartosc cosinusa;f. I jak juz to wiemy to latwo idzie ; p

[paulkacz]

mozesz mi wytlumaczyc jeszcze jak obliczyles ze cos36=.....
probuje to wszystko napisac i obliczyc tak jak mowiles ale nic nie wychodzi, nie moge to przeksztalcic ani obliczyc. gdybys mial mozliwosc rozpisac to wszystko pokolei to bylbym bardzo wdzieczny. dzieki.

[Tomasz Rużycki]

Niech \(\displaystyle{ \frac{\pi}{5}=x}\).

\(\displaystyle{ \cos x\cos 2x = \frac{2\sin x\cos x\cos 2x}{2\sin x} = \frac{2\sin 2x\cos 2x}{4\sin x} = \frac{\sin 4x}{4\sin x} = \frac{\sin \frac{4\pi}{5}}{\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\sin\left(\pi-\frac{4\pi}{5}\right)}{4\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\sin\frac{\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{1}{4}}\).

[paulkacz]

dzieki wszystkim za pomoc.