Wykaż tożsamość trygonometryczną

[piotrek.8.7]

Wykazać tożsamość trygonometryczną:

\(\displaystyle{ \frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}=\tg ^{2}\frac{\alpha}{2}}\)

Próbowałem już chyba wszystkich metod (wzory połówkowe tangensa też), za nic w świecie nie moge tego obliczyć :/ Proszę o pomoc!

[tometomek91]

\(\displaystyle{ \frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha} \neq \tg ^{2}\frac{\alpha}{2}}\)
spójrz na dziedzinę.

[piasek101]

W równościach dziedzina ma grać, w tożsamościach niekoniecznie.

Idzie z tego, że \(\displaystyle{ tg(0,5x)=\frac{1-cosx}{sinx}}\)

[Afish]

Znaki nie są czasem na odwrót? Jeżeli byłoby:
\(\displaystyle{ \frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \tg ^{2}\frac{\alpha}{2}}\)
to wtedy korzystamy z podstawienia:
\(\displaystyle{ tg \frac{ \alpha }{2} = t \\
cos \alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2}}\)
Czyli w naszym przypadku:
\(\displaystyle{ \frac{1 - \frac{1-t^2}{1+t^2} }{1+ \frac{1-t^2}{1+t^2} } = ...}\)
A z tego wychodzi ładnie.

[piotrek.8.7]

skąd wziąłeś:

\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{1-\tg ^{2} \frac{\alpha}{2}}{1+\tg ^{2} \frac{\alpha}{2}}}\) ?-- 6 cze 2010, o 22:47 --Piasek, jak to przekształciłeś, że otrzymałeś sam \(\displaystyle{ \tg\frac{\alpha}{2}}\)?

[Afish]

skąd wziąłeś:

\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{1-\tg ^{2} \frac{\alpha}{2}}{1+\tg ^{2} \frac{\alpha}{2}}}\) ?

Z tablic matematycznych

[Inkwizytor]

a mozna również samemu wyprowadzić \(\displaystyle{ cos \alpha = cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \frac{rozpisany \ \ wzor}{1} = \frac{...}{sin^2( \frac{\alpha}{2}) + cos^2( \frac{\alpha}{2})} =}\) a końcówkę zostawiam do "rozkminienia"

[piasek101]

Co do pytania do mnie - to znana zależność.

Wyprowadzić ?

[Inkwizytor]

DEL

[piasek101]

... Dlatego nie rozumiem tej uwagi.

Jakiej uwagi ?
Było pytanie do mnie

Piasek, jak to przekształciłeś, że otrzymałeś sam \(\displaystyle{ \tg\frac{\alpha}{2}}\)?

to grzecznie odpowiedziałem.

[Inkwizytor]

piasek101 Źle zinterpretowałem Twój wcześniejszy wpis bo też użyłem słowa "wyprowadzić" Usunąłem post bo nieistotny dla tematu.

[piotrek.8.7]

Dzięki, Piasek już nie musisz, poradziłem sobie

Jeszcze raz dzięki

-- 7 cze 2010, o 16:19 --

... ale teraz mam problem z tą tożsamością:

\(\displaystyle{ \cos(\alpha + \beta) \cdot \cos(\alpha-\beta)=\cos ^{2}\alpha-\sin ^{2}\beta}\)

[piasek101]

\(\displaystyle{ L=\frac{2cos\frac{2\alpha+2\beta}{2}\cdot cos\frac{2\alpha-2\beta}{2}}{2}=...}\) iloczyn zamienić na sumę kosinusów.

[piotrek.8.7]

hmmm... a dalej jak to będzie?