Równanie trygonometryczne

[sheepy]

Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ 2sinx - \sqrt{12}cosx = 2\sqrt{2}}\)

[bartek118]

Daje się to sprowadzić do postaci
\(\displaystyle{ -4cos(x+ \frac{ \pi }{6} ) = 2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ cos(x+\frac{\pi}{6})=- \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x+\frac{\pi}{6} = - \frac{3\pi}{4} +2k\pi}\)
\(\displaystyle{ x+\frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} +2k\pi}\)

No i dalej dasz radę

[tometomek91]

bartek118, a jak sprowadziłeś?...

[bartek118]

\(\displaystyle{ 2sinx - \sqrt{12}cosx = 2sinx - 2\sqrt{3}cosx = 2sinx - 4cos \frac{\pi}{6} cosx =
2sinx - 2(cos(x-\frac{\pi}{6}) + cos(\pi + \frac{\pi}{6})) = 2sinx - 2cos(x-\frac{\pi}{6}) - 2cos(x+\frac{\pi}{6})}\)

Możemy zauważyć, że \(\displaystyle{ cos(x- \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} sinx + \frac{\sqrt{3}cosx}{2}}\)

Podstawiamy

\(\displaystyle{ 2sinx - sinx - \sqrt{3}cosx - 2cos(x+\frac{\pi}{6}) = sinx - \sqrt{3}cosx - 2cos(x+\frac{\pi}{6})}\)

Możemy także zauważyć, że \(\displaystyle{ cos(x+ \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}cosx}{2} - \frac{1}{2} sinx}\)

Po podstawieniu tego otrzymujemy od razu
\(\displaystyle{ sinx - \sqrt{3}cosx - 2cos(x+\frac{\pi}{6}) = -4cos(x+ \frac{ \pi }{6} )}\)

[sheepy]

nie da się tego zrobić jakoś prościej?:)

[bartek118]

szczerze mówiąc, to nie widzę inaczej

[tometomek91]

nie da się tego zrobić jakoś prościej?:)

podzielić obustronnie przez 4 i podstawić odpowiednio do wzoru na sinus/kosinus sumy.

[piasek101]

Albo dołożyć jedynkę trygonometryczną - i rozwiązać układ równań.