Równania z funkcjami trygonometrycznymi

[Arvit]

Mam problem z dwoma zadankami :

1) W przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\) rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ 1-\tg^2x+\tg^4x-\tg^6x+ ... =\sin^23x}\)

2)Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \cos4x = \sin3x}\)

z góry dzięki za pomoc

[nemezis100807]

Ad. 1

\(\displaystyle{ 1-\tg{^2}{x}+\tg{^4}{x}-\tg{^6}{x}+ ... =\sin{^2}{3x},\quad x\in[0,2\pi]\quad\quad\quad (1)}\)

Lewa strona równania \(\displaystyle{ (1.1)}\) jest sumą szeregu geometrycznego o ilorazie równym \(\displaystyle{ q=-\tg^{2}{x}}\). Ponadto musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ |q|<1}\). Zatem:

\(\displaystyle{ -\tg^{2}{x}<1 \Leftrightarrow \tg{x}\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty),}\)

oraz

\(\displaystyle{ -\tg{^2}{x}+\tg{^4}{x}-\tg{^6}{x}+ ...=\frac{1}{1+\tg^{2}{x}}\quad\quad\quad (1.2)}\)

Zatem

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+\tg^{2}{x}}=\sin{^2}{3x}\quad\quad\quad (1.3)}\)

Teraz twoja kolej
Ad. 2

\(\displaystyle{ \cos{4x}=\sin{3x} \quad\quad\quad (2.1)}\)

Musimy sprowadzić równanie (2.1) do postaci iloczynowej i skorzystać ze wzorów redukcyjnych. Zatem

\(\displaystyle{ \cos{4x}=\sin{3x} \Leftrightarrow \cos{4x}-\sin{3x}=0 \Leftrightarrow \sin{\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)}-\sin{3x}=0}\)

Teraz twoja kolej

[Majeskas]

Pojawia się \(\displaystyle{ tgx}\), to musi być założenie:

\(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{2}+k \pi \wedge k \in C}\)

Ad. 1
Ponadto musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ |q|<1}\). Zatem:

\(\displaystyle{ -\tg^{2}{x}<1 \Leftrightarrow \tg{x}\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty),}\)

\(\displaystyle{ |q|<1 \Leftrightarrow |-tg^2x|<1 \Leftrightarrow -1<tg^2x<1 \Leftrightarrow -1<tgx<1 \Leftrightarrow x \in (- \frac{ \pi }{4}+k \pi ,\frac{ \pi }{4}+k \pi) \wedge k \in C}\)

\(\displaystyle{ D:x \in (- \frac{ \pi }{4}+k \pi ,\frac{ \pi }{4}+k \pi) \wedge k \in C}\)

[nemezis100807]

Dzięki Majeskas za poprawkę - mój błąd