Równanie z parametrem "m" - kiedy jest rozwiązanie

[savagekrosa]

Dla jakiej wartości parametru "m" równanie ma rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \cos(\frac{3\pi}{2}+2x)-2\sin(5\pi-2x)=3m^{2}}\)


Wiem, że trzeba skorzystać ze wzorów redukcyjnych (właśnie taki temat bierzemy) - o ile jednak zwykle przykłady jakoś mi idą o tyle nie wiem jak należy zrobić przykłady w których w środku funkcji tryg. nie jest \(\displaystyle{ x}\) ale \(\displaystyle{ 2x}\) albo \(\displaystyle{ 3x}\), a moje dotychczasowe próby kończyły się na niemożności zastosowania wzorów redukcyjnych, dlatego w szczególności prosiłbym o wytłumaczenie początku.

Dziękuję za odpowiedź.

[pelas_91]

o tyle nie wiem jak należy zrobić przykłady w których w środku funkcji tryg. nie jest \(\displaystyle{ x}\) ale \(\displaystyle{ 2x}\) albo \(\displaystyle{ 3x}\),

wpisz sobie zamiast "2x" literkę "a" i zastosuj "normalnie" te wzory rekurencyjne operując na literze "a",
jak skończysz to w miejsce "a" wstaw z powrotem "2x"

Napisz co wychodzi

[knrt]

pokaż, że \(\displaystyle{ \cos(\frac{3\pi}{2}+ \alpha)=\sin(5\pi- \alpha )}\)

dalej już łatwo (własności funkcji sin, cos)

[savagekrosa]

Dziękuje za odpowiedzi, zrobiłem tak jak pelas_91 powiedział i prosiłbym o sprawdzenie:

\(\displaystyle{ \cos(\frac{3\pi}{2}+2x)-2\sin(5\pi-2x)=3m^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin(2x)-2\sin(-2x)=3m^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin(2x)+2\sin(2x)=3m^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin(2x)=m^2}\)

Z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ \sin(2x)}\) przyjmuje wartości od -1 do 1, a więc \(\displaystyle{ m\in<-1;1>}\)

[pelas_91]

\(\displaystyle{ \sin(5\pi-2x) \neq sin(-2x)}\)

[savagekrosa]

Kod: Zaznacz cały

O ile na kalkulatorze wszystko się zgadza, tak wciąż nie mogę wymyślić dlaczego jest tak, a nie inaczej - według mnie sinus należy w tej chwili do II ćwiartki, a więc jest dodatni, chyba, że -2x zmienia się na 2x

EDIT: Przepraszam, już znalazłem co jest nie tak. Jeszcze raz dziękuję za wszystkie podpowiedzi.

[pelas_91]

stosując dwa razy wzór: \(\displaystyle{ \sin(360^o+x)=\sinx}\) mamy: \(\displaystyle{ \sin(5\pi-2x)=\sin(\pi-2x)}\)
końcowe ramie jest w drugiej ćwiartce więc otrzymujemy \(\displaystyle{ \sin(2x)}\)