Suma trzech tangensów/cotangensów, tożsamość

[patry93]

Witam.

Jak sprytnie udowodnić taką tożsamość:
\(\displaystyle{ \tg \alpha + \tg \beta + \tg \gamma = \frac{\sin( \alpha + \beta + \gamma) + \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}}\)
?

[anna_]

A te kąty to dowolne kąty czy kąty w trójkącie?

[patry93]

Dowolne w sensie - takie, żeby obie strony tożsamości były określone.

[anna_]

z prawej rozpisz:
\(\displaystyle{ sin( \alpha + \beta + \gamma)=sin(\alpha+\beta)cos\gamma+cos(\alpha+\beta)sin\gamma=...}\)
sprawdziłam, wyjdzie lewa strona

[patry93]

Aj, potrzebuję chyba większej wskazówki.
Po rozpisaniu, licznik prawej strony wychodzi:
\(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha - sin^2 \alpha \sin \beta + \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}\)
Dwa pierwsze składniki, po podzieleniu przez wyrażenie z mianownika, daje \(\displaystyle{ \tg \alpha + \tg \beta}\), więc zostaje udowodnić:
\(\displaystyle{ \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha - sin^2 \alpha \sin \beta + \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma = \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma}\)
I tutaj przekształcam niestety bezskutecznie.

[anna_]

\(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha - sin^2 \alpha \sin \beta + \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}\)

Masz błąd, powinno być:
\(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha - sin \alpha \sin \beta sin\gamma + \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}\)

[patry93]

Zapadam się pod ziemię... dziękuję

Przy okazji, mam drugi problem, bardzo podobny, dlatego napiszę go w tym samym temacie.
Tym razem kąty \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) są kątami tego samego trójkąta.
Korzystając z (co dowodzi się podobnie jak problem z 1. postu w tym temacie):
\(\displaystyle{ \ctg \alpha + \ctg \beta + \ctg \gamma = \frac{1 + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}}\)
Pokazać, że:
\(\displaystyle{ \tg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\beta}{2} + \tg \frac{\beta}{2} \tg \frac{\gamma}{2} + \tg \frac{\gamma}{2} \tg \frac{\alpha}{2} = 1}\)
(tzn. nie ma przymusu, żeby korzystać z pierwszej tożsamości, ale może tak będzie łatwiej... )

Próbowałem pierwszą tożsamość rozpisać na sinusy i cosinusy, a następnie wykorzystać:
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1+ \tg^2 \frac{x}{2}} \\ \cos x = \frac{1- tg^2 \frac{x}{2}}{1+ tg^2 \frac{x}{2}}}\)
I udało mi się uzyskać coś niezbyt przyjemnego, ale przypominającego tezę:
\(\displaystyle{ \frac{4 (1- tg^2 \frac{\alpha}{2}) \tg \frac{\beta}{2} \tg \frac{\gamma}{2} + 4(1- tg^2 \frac{\beta}{2}) \tg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\gamma}{2} + 4 (1- tg^2 \frac{\gamma}{2}) \tg \frac{\beta}{2} \tg \frac{\alpha}{2} - 8 \tg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\beta}{2} \tg \frac{\gamma}{2} }{ (1+ \tg^2 \frac{\alpha}{2} )(1+ \tg^2 \frac{\beta}{2} )(1+ \tg^2 \frac{\gamma}{2} )} =1}\)

[anna_]

Zaczęłabym chyba od tego:

\(\displaystyle{ \tg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\beta}{2} + \tg \frac{\beta}{2} \tg \frac{\gamma}{2} + \tg \frac{\gamma}{2} \tg \frac{\alpha}{2} =\\
\tg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\beta}{2} + \tg \frac{\beta}{2} \tg \frac{(180^o-(\alpha+\beta))}{2} + \tg \frac{(180^o-(\alpha+\beta))}{2} \tg \frac{\alpha}{2} =\\
\tg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\beta}{2} + \tg \frac{\beta}{2} \tg ({90^o- \frac{\alpha+\beta}{2} }) + \tg ({90^o- \frac{\alpha+\beta}{2} }) \tg \frac{\alpha}{2} =\\
\tg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\beta}{2} + \tg \frac{\beta}{2} \ctg \frac{\alpha+\beta}{2} } + ctg \frac{\alpha+\beta}{2} } \tg \frac{\alpha}{2} =\\
\tg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\beta}{2} + \tg \frac{\beta}{2} \ctg ( \frac{\alpha}{2}+ \frac{\beta}{2} ) + \ctg ( \frac{\alpha}{2}+ \frac{\beta}{2} ) \tg \frac{\alpha}{2} =}\)

Teraz ze wzoru na ctg sumy kątów i do wspólnego mianownika.
Sprawdziłam, wychodzi jedynka.

[patry93]

Hm, utknąłem w tym miejscu:
\(\displaystyle{ \frac{2+ \ctg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\beta}{2} + \tg \frac{\alpha}{2} \ctg \frac{\beta}{2} + \ctg \frac{\alpha}{2} + \ctg \frac{\beta}{2} - \tg \frac{\alpha}{2} - \tg \frac{\beta}{2}}{\ctg \frac{\alpha}{2} + \ctg \frac{\beta}{2}}}\)
:/

[anna_]

\(\displaystyle{ \tg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\beta}{2} + \tg \frac{\beta}{2} \ctg ( \frac{\alpha}{2}+ \frac{\beta}{2} ) + \ctg ( \frac{\alpha}{2}+ \frac{\beta}{2} ) \tg \frac{\alpha}{2} =\\
\tg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\beta}{2} + \ctg ( \frac{\alpha}{2}+ \frac{\beta}{2} ) (\tg \frac{\beta}{2}+ \tg \frac{\alpha}{2})=\\
\tg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\beta}{2} + \frac{ctg \frac{\alpha}{2} ctg \frac{\beta}{2} -1}{ctg \frac{\alpha}{2} +ctg \frac{\beta}{2} } (\tg \frac{\beta}{2}+ \tg \frac{\alpha}{2})=\\
\tg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\beta}{2} + \frac{ctg \frac{\alpha}{2} + ctg \frac{\beta}{2} -tg \frac{\beta}{2} -tg \frac{\alpha}{2} }{ctg \frac{\alpha}{2} +ctg \frac{\beta}{2} } =\\
\frac{\tg \frac{\alpha}{2} \tg \frac{\beta}{2}(ctg \frac{\alpha}{2} +ctg \frac{\beta}{2} )}{ctg \frac{\alpha}{2} +ctg \frac{\beta}{2} } + \frac{ctg \frac{\alpha}{2} + ctg \frac{\beta}{2} -tg \frac{\beta}{2} -tg \frac{\alpha}{2} }{ctg \frac{\alpha}{2} +ctg \frac{\beta}{2} } =\\
\frac{ \tg \frac{\beta}{2}+tg \frac{\alpha}{2} }{ctg \frac{\alpha}{2} +ctg \frac{\beta}{2} } + \frac{ctg \frac{\alpha}{2} + ctg \frac{\beta}{2} -tg \frac{\beta}{2} -tg \frac{\alpha}{2} }{ctg \frac{\alpha}{2} +ctg \frac{\beta}{2} }=...}\)