oblicz bez użycia tablic

[NHG]

witam!
oblicz bez użycia tablic :
\(\displaystyle{ cos24 + cos48 - cos84 - cos12}\)
próbowałem stosować wzory na sumy i różnice, ale nie mogłem połączyć odpowiednich kontów bo cały czas inny wynik wychodzil
z góry dzięki za pomoc!

[Lorek]

\(\displaystyle{ \cos 24+\cos 48-\cos 84-\cos 12=\cos 24-\cos 84+\cos 48-\cos 12=\\=\cos 24 -\cos (60+24)+\cos (60-12)+\cos 12=\cos 36-\cos 72=\sin 54-\sin 18=\\=\sin(36+18)-\sin(36-18)=2\sin 18\cos 36=\frac{2\sin 18 \cos 18 \cos 36}{\cos 18}=\\=\frac{\sin 36 \cos 36}{\cos 18}=\frac{\sin 72}{2\cos 18}=\frac{\cos 18}{2\cos 18}=\frac{1}{2}}\)
Wszędzie oczywiście są stopnie.

[Lenkaaa18]

\(\displaystyle{ \cos 24+\cos 48-\cos 84-\cos 12=\cos 24-\cos 84+\cos 48-\cos 12=\\=\cos 24 -\cos (60+24)+\cos (60-12)+\cos 12=\cos 36-\cos 72=\sin 54-\sin 18=\\=\sin(36+18)-\sin(36-18)=2\sin 18\cos 36=\frac{2\sin 18 \cos 18 \cos 36}{\cos 18}=\\=\frac{\sin 36 \cos 36}{\cos 18}=\frac{\sin 72}{2\cos 18}=\frac{\cos 18}{2\cos 18}=\frac{1}{2}}\)
Wszędzie oczywiście są stopnie.

nie rozumiem tego, a dokladniej nie wiem skad wzielo sie cos 36 - cos 72=.... od tego momentu wlacznie z cos36-cos72 nie rozumiem... mozna wytlumaczyc skad to sie wzielo???z gory dziekuje

[Lorek]

Tam w 2 linijce powinno być \(\displaystyle{ -\cos 12}\), mój błąd, ale reszta dobrze jest.
\(\displaystyle{ \cos 24-\cos(60+24)+\cos(60-12)-\cos 12=\\=\cos 24-(\cos 60 \cos 24-\sin 60\sin 24)+\cos 60\cos 12 +\sin 60\sin 12-\cos12=\\=\cos 24-\frac{1}{2}\cos 24+\sin 60\sin 24+\frac{1}{2}\cos 12+\sin 60\sin 12-\cos 12=\\=\frac{1}{2}\cos 24+\sin 60\sin 24-\frac{1}{2}\cos 12 +\sin 60\sin 12=\\=\cos 60\cos 24+\sin 60\sin 24 -(\cos 60\cos 12-\sin 60\sin 12)=\\=\cos(60-24)-\cos(60+12)}\)

[Lenkaaa18]

Tam w 2 linijce powinno być \(\displaystyle{ -\cos 12}\), mój błąd, ale reszta dobrze jest.
\(\displaystyle{ \cos 24-\cos(60+24)+\cos(60-12)-\cos 12=\\=\cos 24-(\cos 60 \cos 24-\sin 60\sin 24)+\cos 60\cos 12 +\sin 60\sin 12-\cos12=\\=\cos 24-\frac{1}{2}\cos 24+\sin 60\sin 24+\frac{1}{2}\cos 12+\sin 60\sin 12-\cos 12=\\=\frac{1}{2}\cos 24+\sin 60\sin 24-\frac{1}{2}\cos 12 +\sin 60\sin 12=\\=\cos 60\cos 24+\sin 60\sin 24 -(\cos 60\cos 12-\sin 60\sin 12)=\\=\cos(60-24)-\cos(60+12)}\)

w tym ostatnim sie chyba pomyliles tam powinno byc: cos(60-24)-cos(60-12), apropo co dalej?? bo niezabardzo wiem:-(

[Lorek]

Powinno być tak jak jest
\(\displaystyle{ \cos \cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)}\)
a dalej
\(\displaystyle{ \cos(60-24)-\cos(60+12)=\cos 36-\cos 72=\cos(90-54)-\cos(90-18)=\sin 54-\sin 18=\sin (36+18)-\sin(36-18)=\sin 36\cos 18 +\sin 18\cos 36-(\sin 36\cos 18-\sin 18\cos 36)}\)

[Lenkaaa18]

doszlam do takiej formy: sin(36+18)-sin(36-18), i ty dalej napisales ze to powinno byc rowne 2sin18cos36 a moge wiedziec z jakiego to wzorku?? i potem dalej niewiem jeszcze skad Ci sie wzielo ze miales sin36cos36/cos18 i to bylo rowne sin72/2cos18 skad sie wzielo na gorze sin2 a na dole 2 przy cos18... z gory dzieki za odpowiedz:]

ps: wiem ze to troche upierdliwe, ale naprawde zalezy mi na tym zadanku:]
a wg mnie jest ono dosc trudne:-(

[Lorek]

Rozpisz sobie
\(\displaystyle{ \sin(36+18)-\sin(36-18)}\)
ze wzorów na sumę/różnicę kątów.
a dalej rozszerzyłem licznik i mianownik o taką wartość, by mieć wzór \(\displaystyle{ \sin \cos }\)
bo \(\displaystyle{ \sin \cos\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{2}}\)

[Lenkaaa18]

(...)cos(60-24) - cos(60+12)=cos36-cos72 (...) - skad to sie wzielo??? czy odjeles sobie to co jest w nawiazsach??? jak tak to czy tak wolno?? czy obliczyles z jakiegos wzorku? a jak tak to z ktorego???

[Lorek]

Jak masz w nawiasach to możesz dodać/odjąć tak jak dowolne liczby.

[Lenkaaa18]

Jak masz w nawiasach to możesz dodać/odjąć tak jak dowolne liczby.

dzięki za odpowiedź, rozpisałam sobie to wyrazenie za pomocą wzoru cosα-cosβ biorac za αwyrazenie (60-24) a za β wyrazenie (60+12) i doszlam do tego samego co Ty :-] pozdrwaiam i jeszcze raz dziekuje za pomoc:-**