Tożsamość trygonometryczna.

[sushi]

jak masz sinusa 36 i cosinusa 36 to do tego wzoru

\(\displaystyle{ \frac{4}{(\ctg^2 36-1)^2}}\)

[piasek101]

Jeśli powyższy jest do mnie - nie sprawdzałem czy ten co podajesz jest prawdziwy (wiem , że wcześniej w tym wątku się pojawił), więc go nie używałem.

[anna_]

Myślałam, ze udało sie to jakoś uprościć bez wartości funkcji tych kątów.

[sushi]

pisze do autora pierwszego postu: wyprowadzony jest sinus 36 stopni, to cosinusa mozna nawet jak nie byl wyprowadzony, policzyc z 1-nki, i zobaczyc co wyjdzie w tym cotangensem

[sanderus]

sushi, dziękuję bardzo za pomoc, ale Twoje wyznaczenie wartości sinusa i cosinusa 36 stopni jest dla mnie, jako ucznia 2 klasy liceum, zbyt skomplikowane :/ Czy jest jakaś prostsza metoda, bo niestety nie poradziłem sobie z przekształceniami podczas wyznaczanie cosinusa 18 stopni, korzystając z jedynki trygonomentrycznej i znając wartośc sinusa 18 stopni.

[sushi]

wiec bedziesz mogl zagiąć w szkole nauczyciela/lke wyprowadzeniem "sinusa 5a", masz wyprowadzenie sinusa, potem z jedynki policzysz cosinusa 36 stopni

[anna_]

\(\displaystyle{ sin{18^{\circ}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}}\)
\(\displaystyle{ cos^218^o+sin^218^o=1}\)
\(\displaystyle{ cos^218^o+(\frac{\sqrt{5}-1}{4})^2=1}\)
\(\displaystyle{ cos^218^o+\frac{6-2\sqrt{5}}{16}=1}\)
\(\displaystyle{ cos^218^o=1-\frac{6-2\sqrt{5}}{16}}\)
\(\displaystyle{ cos^218^o=\frac{2\sqrt{5}+10}{16}}\)
\(\displaystyle{ cos18^o= \sqrt{\frac{2\sqrt{5}+10}{16}}}\)
\(\displaystyle{ cos18^o= \frac{ \sqrt{2\sqrt{5}+10} }{4}}}\)

\(\displaystyle{ sin36^o=2sin18^o cos18^o=2\frac{\sqrt{5}-1}{4} \cdot \frac{ \sqrt{2\sqrt{5}+10} }{4}}= 2\frac{ \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} \cdot \sqrt{2\sqrt{5}+10}}{16}=\frac{ \sqrt{(6-2 \sqrt{5} ) \cdot (2\sqrt{5}+10)}}{8}= \frac{ \sqrt{40-8 \sqrt{5} } }{8}=\frac{ \sqrt{10-2 \sqrt{5} } }{4}}\)

\(\displaystyle{ sin^236^o=\frac{ 10-2 \sqrt{5} }{16}}\)

\(\displaystyle{ cos^236^o=1-(\frac{ \sqrt{10-2 \sqrt{5} } }{4})^2}\)
\(\displaystyle{ cos^236^o=1-\frac{ 5-\sqrt{5 } }{8}}\)
\(\displaystyle{ cos^236^o=\frac{ \sqrt{5 }+3 }{8}}\)

\(\displaystyle{ ctg^236^o= \frac{\frac{ \sqrt{5 }+3 }{8}}{\frac{ 10-2 \sqrt{5} }{16}}}\)
\(\displaystyle{ ctg^236^o= \frac{ \sqrt{5 }+3 }{8} \cdot \frac{16}{10-2 \sqrt{5} }}\)
\(\displaystyle{ ctg^236^o= \frac{2( \sqrt{5 }+3 )}{10-2 \sqrt{5} }}\)
\(\displaystyle{ ctg^236^o= \frac{2( \sqrt{5 }+3 )(10+2 \sqrt{5})}{(10-2 \sqrt{5} )(10+2 \sqrt{5})}}\)
\(\displaystyle{ ctg^236^o= \frac{16(2 \sqrt{5} +5)}{80}}\)
\(\displaystyle{ ctg^236^o= \frac{2 \sqrt{5} +5}{5}}\)

[sanderus]

Dziękuję serdecznie wszytkim za pomoc Teraz już rozumiem

-- 28 maja 2010, o 14:30 --

Niestety, za wczesnie zacząłem się cieszyć. Nauczycielka rozwiązania nia uznała, gdyż wyliczyłem w nim wartość sinusa 18 stopni.

Rówanie ma zostać udowodnione korzystająć TYLKO I WYŁĄCZNIE z tożsamości trygonometrycznych, tzn. :

\(\displaystyle{ tg ^{2} ( \frac{\pi}{2} ) \cdot tg ^{2} ( \frac{2\pi}{2} ) =5}\)

\(\displaystyle{ L = tg ^{2} ( \frac{\pi}{2} ) \cdot tg ^{2} ( \frac{2\pi}{2} ) = ... = 5}\)

\(\displaystyle{ L = P}\)-- 28 maja 2010, o 14:32 --EDIT: Wszędzie jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{5}}\), nie wiem czemu nie mogę zedytowac posta