Tożsamość trygonometryczna.

[sanderus]

sushi, ale skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ (\ctg ^2 a-1)^2=\frac 45}\) ? W internecie tego nie znalazłem.

[sushi]

to trzeba pokazac, aby po lewej stronie tożsamości wyszlo 5

[piasek101]

Z tego co pod linkiem idzie - mamy tg36 wstawiamy i obliczamy.

[sushi]

wiem ale ON dalej w zaparte idzie i nie zobaczy na to co Mu podałeś

[sanderus]

Polecenie jest takie:

"Udowodnij równość, korzystająć z tożsamości trygonometrycznych"

Nadal nie rozumiem, skąd wiadomo że mianownik jest równy \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\), bo jeżeli można to jakoś udowodnić to skorzystam z tego, a niestety z trygonometrii asem nie jestem i nie rozumiem rozwiązania które zostało podane w tamtym linku.

Próbowałem to rozwiązać jeszcze raz i tym razem doszedłem do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{2-sin ^{2} }{1-2sin ^{2} }=5}\)

[anna_]

Masz gdzieś błąd.
Mi wyszło
\(\displaystyle{ \frac{2sin^2{ \frac{\pi}{5} }}{1-2sin^2{ \frac{\pi}{5} }}}\)
i to powinno być równe \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)

Piasek mi z tamtego linka nic niestety nie wychodzi.

[sanderus]

Próbowałem wyjsć z \(\displaystyle{ tg5\alpha}\) rozpisując na \(\displaystyle{ tg(\alpha+4\alpha)}\), ale po zapisaniu 3 kartek a4 stwierdzam, że nie prowadzi to raczej do niczego.

Od osoby, której udało się rozwiązać to zadanie korzystając z tożsamości, dowiedziałem się, że po lewej stronie równania, musi występowac suma. Nie wiem tylko, czy suma kątów, czy suma funkcji.

I ponawiam pytanie, gdyż strasznie mnie to ciekawi, a nie mogę tego rozgryźć.

Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ (ctg ^{2}\alpha - 1) ^{2} = \frac{4}{5}}\), można gdzieś znaleźć dowód na to?

[anna_]

Proszę bardzo:
\(\displaystyle{ 4sin{ \frac{\pi}{5} }sin{ \frac{2\pi}{5} }= \sqrt{5}}\)
Da się z lewej strony zrobić sumę.

-- dzisiaj, o 19:06 --

Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ (ctg ^{2}\alpha - 1) ^{2} = \frac{4}{5}}\), można gdzieś znaleźć dowód na to?

sushi to policzył, wiedząc jaki ma wyjśc wynik.

[sanderus]

Proszę bardzo:
\(\displaystyle{ 4sin{ \frac{\pi}{5} }sin{ \frac{2\pi}{5} }= \sqrt{5}}\)
Da się z lewej strony zrobić sumę.

Mogłabyś mi to jakoś rozpisać? Chociaż parę kroczków od początku równania.

[anna_]

Ale to nic nie da, sprawdzałam (chyba, że coś źle robiłam)

\(\displaystyle{ 4sin{ \frac{\pi}{5} }sin{ \frac{2\pi}{5} }=-2 \cdot (-2sin{ \frac{\pi}{5} }sin{ \frac{2\pi}{5} })=- 2 (cos \frac{3\pi}{5}-cos{ \frac{\pi}{5} })}\)

Można iść trochę na łatwiznę.
Tutaj masz wartość \(\displaystyle{ sin18^o}\)
80546.htm#304592
Możesz policzyć \(\displaystyle{ sin36^o}\)
i wstawić do tego wzoru, który podałam.

Albo
mając dany sinus, policzyć z jedynki trygonometrycznej cosinus i liczyć z tego wzoru z cotangensem

[sanderus]

Ok, przypomnę może zadanie:

" Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, uzasadnij prawdziwość równania:

\(\displaystyle{ tg ^{2} ( \frac{\pi}{2} ) \cdot tg ^{2} ( \frac{2\pi}{2} ) =5}\)"

Myślę iż można korzystac z wartości funkcji dla podstawowych kątów, ale \(\displaystyle{ \frac{\pi}{5}}\) na pewno do takich nie należy

Czy ktoś ma jakiś pomysł? Próbowałem zamiany na funkcje sin i cos, a potem rozwiązywanie z jedynki trygonometrycznej, ale nic to nie dało.

-- 26 maja 2010, o 18:46 --

nmn: Możaby było wyprowadzić taką wartość dla \(\displaystyle{ tg 36}\)? Wtedy od razu możnaby podstawić do równania i sprawdzić jego słuszność. Jak wyliczyłaś to

nmn: Jak wyliczyłaś tą postac równania do podstawienia pod sinus 36 stopni? Bo za cholerę nie mogę do tego dojść.

[anna_]

\(\displaystyle{ tg ^{2} \frac{\pi}{5} \cdot tg ^{2} \frac{2\pi}{5} =\\
\left(tg \frac{\pi}{5} \cdot tg \frac{2\pi}{5} \right)^2= \\
\left( \frac{sin \frac{\pi}{5} }{cos \frac{\pi}{5} } \cdot \frac{sin \frac{2\pi}{5} }{cos\frac{2\pi}{5} }\right)^2=\\
\left( \frac{sin \frac{\pi}{5} \cdot sin \frac{2\pi}{5} }{cos \frac{\pi}{5} \cdot cos \frac{2\pi}{5} } \right) ^2=\\
\left( \frac{sin \frac{\pi}{5} \cdot sin \frac{2\pi}{5} }{\frac{2sin{ \frac{\pi}{5} }}{2sin{ \frac{\pi}{5} }} \cdot cos \frac{\pi}{5} \cdot cos \frac{2\pi}{5} } \right) ^2=\\
\left( \frac{2sin^2 \frac{\pi}{5} \cdot sin \frac{2\pi}{5} }{sin{ \frac{2\pi}{5} }\cdot cos \frac{2\pi}{5} } \right) ^2=\\
\left( \frac{4sin^2 \frac{\pi}{5} \cdot sin \frac{2\pi}{5} }{2sin{ \frac{2\pi}{5} }\cdot cos \frac{2\pi}{5} } \right) ^2=\\
\left( \frac{4sin^2 \frac{\pi}{5} \cdot sin \frac{2\pi}{5} }{sin{ \frac{4\pi}{5} } } \right) ^2=\\
\left( \frac{4sin^2 \frac{\pi}{5} \cdot sin \frac{2\pi}{5} }{sin{(\pi- \frac{\pi}{5} } )} \right) ^2=\\
\left( \frac{4sin^2 \frac{\pi}{5} \cdot sin \frac{2\pi}{5} }{sin{ \frac{\pi}{5} }} \right) ^2=\\
\left( 4sin \frac{\pi}{5} \cdot sin \frac{2\pi}{5}\right) ^2}\)-- dzisiaj, o 20:58 --

nmn: Możaby było wyprowadzić taką wartość dla \(\displaystyle{ tg 36}\)?

Nie wiem czy to najprostszy sposób, ale:

Mając dany \(\displaystyle{ sin18^o}\) z jedynki trygonometrycznej liczysz \(\displaystyle{ cos18^o}\)
Ze wzoru \(\displaystyle{ sin36^o=sin(2 \cdot 18^o)=2sin18^ocos18^o}\)
mając \(\displaystyle{ sin36^o}\) z jedynki liczysz \(\displaystyle{ cos36^o}\), potem \(\displaystyle{ tg36^o}\)

[sushi]

w tamtym poscie pisze ile wynosi cosinus 36 stopni, podstawiasz tutaj do cotangensa, wczesniej liczac z jedynki ile wynosi sinus 36 stopni, odejmij 1 i podnies do kwadratu i masz 4/5-- 26 maja 2010, 20:52 --wzor na wyprowadzenie wielokrotnosci kątów

\(\displaystyle{ (\sin 5a +i \cos 5a)= (\sin a + i \cos a)^5=(\sin ^5a + i 5 \sin^4 a \cos a - 10 \sin^3 a \cos ^2 a- 10 \sin^2 a \cos ^3 a + 5 \sin a \cos^4 a - i \cos ^5 a)}\)

\(\displaystyle{ (\sin 5a +i \cos 5a)= (\sin ^5a + i 5 \sin^4 a \cos a - 10 \sin^3 a \cos ^2 a -i 10 \sin a \cos ^3 a + 5 \sin a \cos^4 a - i \cos ^5 a)}\)

porownujemy czesci urojone z urojonymi, a rzeczywistymi z rzeczywistymi

nas interesuje sinus wiec

\(\displaystyle{ \sin 5a = =(\sin ^5a - 10 \sin^3 a \cos ^2 a + 5 \sin a \cos^4 a )}\)

wyciagamy sinusa przed nawias a cosinusa z jedynki

\(\displaystyle{ \sin 5a = \sin a(\sin ^4a - 10 \sin^2 a (1- \sin^2 a) + 5 \sin a (1 - \sin^2 a)^2 )}\)

po podniesieniu do kwadratu i dodaniu mamy

\(\displaystyle{ 0====\sin 5a = \sin a(16 \sin ^4a - 20 \sin^2 a +5 )}\)

\(\displaystyle{ 0====(16 \sin ^4a - 20 \sin^2 a +5 )}\)

\(\displaystyle{ \sin^2= t}\)

\(\displaystyle{ 0= 16t^2 - 20t +5}\)

\(\displaystyle{ \Delta= 20 \cdot 20 - 16 \cdot 20= 4 \cdot 20= 4 \cdot 4 \cdot 5}\)

\(\displaystyle{ t_1= \frac{20-4 \sqrt{5}}{32}= \frac{5- \sqrt{5}}{8}}\)

\(\displaystyle{ t_2= \frac{20+4 \sqrt{5}}{32}= \frac{5+ \sqrt{5}}{8}= \ okolo \ 1}\)
wiec kąt musiałby być blisko 90 stopni

czyli

\(\displaystyle{ \sin^2 36=\frac{5- \sqrt{5}}{8}}\)

w tamtym poscie masz podane

\(\displaystyle{ \cos^2 36 = (\frac{1+ \sqrt{5}}{4})^2= \frac{3+ \sqrt{5}}{8}}\)

\(\displaystyle{ \sin^2 + \cos ^2 = 1}\)

\(\displaystyle{ i^2=-1}\)

\(\displaystyle{ i^4= 1}\)

[anna_]

post709574.htm

[piasek101]

Piasek mi z tamtego linka nic niestety nie wychodzi.

Mi wyszło (5).

Zaraz poszukam - może jeszcze mam.

[edit]
Krótko :
\(\displaystyle{ tg^2 36=\frac{5-\sqrt 5}{3+\sqrt 5}}\)

\(\displaystyle{ tg72=\frac{2tg36}{1-tg^2 36}}\)

Szukane :
\(\displaystyle{ tg^2 36 \cdot tg^2 72=..........=\frac{4\left(\frac{30-10\sqrt 5}{14+6\sqrt 5}\right)}{\left(1-\frac{5-\sqrt 5}{3+\sqrt 5}\right)^2}=..........=5}\) (przynajmniej mi tak wyszło)