Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiej tożsamości:
\(\displaystyle{ tg ^{2} ( \frac{\pi}{2} ) \cdot tg ^{2} ( \frac{2\pi}{2} ) =5}\)
Zamieniłem sobie dla ułatwienia \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} =\alpha}\) ale nadal nie mogę ruszyć. Z jakiej strony to ugryźć?
Tożsamość trygonometryczna.
-
sushi
- Użytkownik
- Posty: 3424
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
Tożsamość trygonometryczna.
zamien tangensa na \(\displaystyle{ \frac{\sin}{\cos}}\)
\(\displaystyle{ \cos {2a}= \cos^2 a - \sin^2a}\)
\(\displaystyle{ \sin {2a}= 2 \sin a \cos a}\)
podnies do potegi, powymnazaj, uzyj 1-ki trygonometrycznej
\(\displaystyle{ \cos {2a}= \cos^2 a - \sin^2a}\)
\(\displaystyle{ \sin {2a}= 2 \sin a \cos a}\)
podnies do potegi, powymnazaj, uzyj 1-ki trygonometrycznej
-
sanderus
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 19 lut 2009, o 07:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 27 razy
Tożsamość trygonometryczna.
Już mam dość tego przykładu...
Jak już mówiłem robiłem je wszystkimi sposobami, ale przy żadnym mi nie wychodziło:
\(\displaystyle{ tg ^{2} ( \frac{\pi}{2} ) \cdot tg ^{2} ( \frac{2\pi}{2} ) = tg ^{2} \alpha \cdot tg ^{2} 2\alpha = \frac{sin ^{2}\alpha }{cos ^{2}\alpha } \cdot \frac{sin ^{2}2\alpha}{cos ^{2}2\alpha}} = \frac{sin ^{2}\alpha }{cos ^{2}\alpha } \cdot \frac{(2sin\alpha cos\alpha) ^{2} }{(cos ^{2}\alpha - sin ^{2}\alpha) ^{2} } =}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin ^{2}\alpha }{cos ^{2}\alpha } \cdot \frac{4sin ^{2} \alpha cos ^{2} \alpha }{(1 - 2sin ^{2}\alpha) ^{2}} = \frac{4sin ^{4}}{(1 - 2sin ^{2}\alpha) ^{2}} = \frac{4sin ^{4}}{1 - 4sin ^{2}\alpha + 4sin ^{4}\alpha}}\)
Co dalej? Gdzieś się pomyliłem?
Jak już mówiłem robiłem je wszystkimi sposobami, ale przy żadnym mi nie wychodziło:
\(\displaystyle{ tg ^{2} ( \frac{\pi}{2} ) \cdot tg ^{2} ( \frac{2\pi}{2} ) = tg ^{2} \alpha \cdot tg ^{2} 2\alpha = \frac{sin ^{2}\alpha }{cos ^{2}\alpha } \cdot \frac{sin ^{2}2\alpha}{cos ^{2}2\alpha}} = \frac{sin ^{2}\alpha }{cos ^{2}\alpha } \cdot \frac{(2sin\alpha cos\alpha) ^{2} }{(cos ^{2}\alpha - sin ^{2}\alpha) ^{2} } =}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin ^{2}\alpha }{cos ^{2}\alpha } \cdot \frac{4sin ^{2} \alpha cos ^{2} \alpha }{(1 - 2sin ^{2}\alpha) ^{2}} = \frac{4sin ^{4}}{(1 - 2sin ^{2}\alpha) ^{2}} = \frac{4sin ^{4}}{1 - 4sin ^{2}\alpha + 4sin ^{4}\alpha}}\)
Co dalej? Gdzieś się pomyliłem?
-
sushi
- Użytkownik
- Posty: 3424
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
Tożsamość trygonometryczna.
ja bym zostawil mianownik w spokoju
\(\displaystyle{ (\cos^2 - \sin^2)^2= \cos^4 - 2 \cos^2 \sin^2 +\sin^4}\)
\(\displaystyle{ \frac{4 \sin^4}{\cos^4 - 2 \cos^2 \sin^2 +\sin^4}}\) teraz dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sin^4}\)
\(\displaystyle{ \frac{4 }{\ctg^4 - 2 \ctg^2 + 1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4 }{(\ctg^2 - 1)^2}}\) juz dalej chyba powinno byc w miare łatwo
\(\displaystyle{ (\cos^2 - \sin^2)^2= \cos^4 - 2 \cos^2 \sin^2 +\sin^4}\)
\(\displaystyle{ \frac{4 \sin^4}{\cos^4 - 2 \cos^2 \sin^2 +\sin^4}}\) teraz dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sin^4}\)
\(\displaystyle{ \frac{4 }{\ctg^4 - 2 \ctg^2 + 1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4 }{(\ctg^2 - 1)^2}}\) juz dalej chyba powinno byc w miare łatwo
-
sanderus
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 19 lut 2009, o 07:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 27 razy
Tożsamość trygonometryczna.
No i tu się pojawia problem, bo równanie należy udowodnić korzystając z tożsamości. Nie wiem czy to co napisałeś: \(\displaystyle{ (\ctg^2 - 1)^2 = 0,8}\) znajduje się w podstawowych tablicach ( nie mogę tego znaleźć w internecie).
-
sushi
- Użytkownik
- Posty: 3424
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
Tożsamość trygonometryczna.
w zadaniu masz \(\displaystyle{ \tan a}\) i \(\displaystyle{ \tan 2a}\) wiec trzeba wyjsc od \(\displaystyle{ \tan 5a= \tan \pi}\)
-
sushi
- Użytkownik
- Posty: 3424
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
Tożsamość trygonometryczna.
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{5}=36 \ stopni}\)
wiec jezeli to ma byc tylko na dzialaniach z katami, to trzeba wyjsc jak wspomnialem wczesniej \(\displaystyle{ \pi = 5a}\)-- 25 maja 2010, 21:11 --\(\displaystyle{ \tan 5a= \tan(4a+a)}\) i ze wzoru i potem zmniejszasz 4a, 3a i dojdziesz 2a, a co z tego wyjdzie to nie wiem
nie chciales tamtego \(\displaystyle{ (\ctg ^2 a-1)^2=\frac 45}\) to sie męcz tak
wiec jezeli to ma byc tylko na dzialaniach z katami, to trzeba wyjsc jak wspomnialem wczesniej \(\displaystyle{ \pi = 5a}\)-- 25 maja 2010, 21:11 --\(\displaystyle{ \tan 5a= \tan(4a+a)}\) i ze wzoru i potem zmniejszasz 4a, 3a i dojdziesz 2a, a co z tego wyjdzie to nie wiem
nie chciales tamtego \(\displaystyle{ (\ctg ^2 a-1)^2=\frac 45}\) to sie męcz tak
