Wartość wyrażenia.

[Mashe]

Przepraszam, nie wiedziałam czy da się edytować mój poprzedni post, dlatego piszę ponownie, mam nadzieję poprawnie.

Zad.
W trójkącie prostokątnym a, b oznaczają długości przyprostokątnych, c jest długością przeciwprostokątnej, \(\displaystyle{ \alpha}\) oznacza miarę kąta leżącego naprzeciw przyprostokątnej długości a. Wiedząc, że \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{3}}\), oblicz:

a) wartość wyrażenia: \(\displaystyle{ \frac{ a^{2} }{2b^{2}+c^{2} }}\)

[Althorion]

Podpowiedź 1:
Czym jest kosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym?
Podpowiedź 2:
Co wiemy o związku pomiędzy długością przyprostokątnych a przeciwprostokątnych?

[Mashe]

\(\displaystyle{ 1. cos \alpha= \frac{b}{c} \Rightarrow \frac{b}{c}= \frac{ \sqrt{5} }{3} \Rightarrow b= \frac{ \sqrt{5}c }{3}

2. sin \alpha = \frac{a}{c} \Rightarrow a= \frac{2c}{3}

3. a^{2}+ b^{2}= c^{2}}\)

Podstawiam:
\(\displaystyle{ \frac{ a^{2} }{2b ^{2}+ c^{2} }= \frac{ a^{2} }{3b ^{2}+ a^{2} }= \frac{ \frac{4c ^{2} }{9} }{3* \frac{5c ^{2} }{9}+ \frac{4 c^{2} }{9} }= \frac{ \frac{4 c^{2} }{9} }{ \frac{19 c^{2} }{9} }= \frac{4 c^{2} }{9}* \frac{9}{19 c^{2} }= \frac{4}{19}}\)

Będę wdzięczna za sprawdzenie moich obliczeń. Dziękuję za wskazówki.