Twierdzenie o równości sinusów

[tranto]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ (sinx=siny) \Leftrightarrow \left( x = y+2k \pi \vee x=(\pi - y) + 2k \pi \right)}\), gdzie k - całkowite.

[filip.wroc]

z wzorow redukcyjnych to pociagnij.
a jezeli chcesz dowodu wzorow redukcyjnych, to daj znac, sprobujemy je tutaj wyprowadzic.

[Zordon]

na lewą stronę i skorzystaj ze wzoru na różnicę sinusów

[tranto]

Rozumiem, że chodzi o coś takiego?

\(\displaystyle{ sinx = sin y \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ sinx + sin (-y) = 0 \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ 2\ sin \left(\frac{x-y}{2} \right) cos\left(\frac{x+y}{2} \right) = 0 \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ \left[ sin \left(\frac{x-y}{2} \right) = 0 \vee cos\left(\frac{x+y}{2} \right) = 0 \right] \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{x-y}{2} = k \pi \vee \frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{2} + k \pi \right) \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ \left( x-y = 2k \pi \vee x+y = \pi + 2k \pi \right) \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ \left( x = y + 2k \pi \vee x = \pi - y + 2k \pi \right)}\)

przy czym \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\).

[Zordon]

dokładnie