Tożsamości trygonometryczne

[dymek010]

Wiedząc że \(\displaystyle{ sin \alpha + cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\), oblicz:

1. \(\displaystyle{ sin \alpha * cos \alpha}\)
2. \(\displaystyle{ |sin \alpha - cos \alpha|}\)
3. \(\displaystyle{ sin^{3} \alpha + cos^{3} \alpha}\)
4. \(\displaystyle{ sin^{4} \alpha + cos^{4} \alpha}\)

POMOCY!!
Z góry dzięki

[Lbubsazob]

1. Skorzystaj z tego: \(\displaystyle{ \left(sin\alpha+cos\alpha \right)^2=sin^2\alpha+2sin\alpha cos\alpha+cos^2\alpha=1+sin\alpha cos\alpha}\)

2. \(\displaystyle{ \left|sin\alpha-cos\alpha \right|= \sqrt{ \left( sin\alpha-cos\alpha\right)^2 }= \sqrt{sin^2\alpha-2sin\alpha cos\alpha+cos^2\alpha}= \sqrt{1-2sin\alpha cos\alpha}}\)

4.
\(\displaystyle{ sin^4\alpha+cos^4\alpha=sin^4\alpha+2sin^2\alpha cos^2\alpha+cos^4\alpha-2sin^2\alpha cos^2\alpha= \left( sin^2\alpha+cos^2\alpha\right)^2-2sin^2\alpha cos^2\alpha}\)

Przy czym \(\displaystyle{ 2sin^2\alpha cos^2\alpha=2 \left( sin\alpha cos\alpha\right)^2}\), a \(\displaystyle{ sin\alpha cos\alpha}\) dostaliśmy w 1 przykładzie.

[dymek010]

Wielkie dzięki!!!

[Lbubsazob]

3.
\(\displaystyle{ sin^3\alpha+cos^3\alpha=sin^3\alpha+3sin^2\alpha cos\alpha+3sin\alpha cos^2\alpha+cos^3\alpha-3sin^2\alpha cos\alpha-3sin\alpha cos^2\alpha= \left( sin\alpha+cos\alpha\right)^3-3sin\alpha cos\alpha \left( sin\alpha-cos\alpha\right)}\)