Wykaż że suma tangensów...

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Tracer92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 13 lis 2007, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Wykaż że suma tangensów...

Post autor: Tracer92 »

Wykaż że
\(\displaystyle{ \tg40^{\circ} + \tg42^{\circ} + \tg44^{\circ} + \tg46^{\circ} + \tg48^{\circ} + \tg50^{\circ} > 6}\)
Awatar użytkownika
Justka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Wykaż że suma tangensów...

Post autor: Justka »

\(\displaystyle{ tg 40^0 + ... + tg 50^0= tg 40^0 + tg 42^0 + tg 44^0 + ctg 40^0 + ctg 42^0 + ctg 44^0}\) i skorzystaj z nierówności między średnią arytmetyczną, a geometryczną
Tracer92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 13 lis 2007, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Wykaż że suma tangensów...

Post autor: Tracer92 »

Już wiem, powinno być tak:


\(\displaystyle{ \frac{\sin40^{\circ}}{cos40^{\circ}} + \frac{\sin50^{\circ}}{cos50^{\circ}} = \frac{2(\sin40^{\circ} * cos50^{\circ} + \sin50^{\circ} * cos40^{\circ})}{2 \cos50^{\circ} * cos40^{\circ}} = \frac{2\sin90^{\circ}}{\cos90^{\circ} + \cos10^{\circ}} = \frac{2}{ \cos10^{\circ}}}\)

I analogicznie dla każdej pary.
Awatar użytkownika
Justka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Wykaż że suma tangensów...

Post autor: Justka »

tak, a mi chodziło o skorzystanie z nierówności między średnimi (dla dodatnich \(\displaystyle{ a_1, a_2, ...}\)):

\(\displaystyle{ \frac{a_1+a_2+ ... + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1\cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}}\), równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a1,a2, ... są równe.

czyli:
\(\displaystyle{ L=tg 40^0 + ... + tg 50^0= tg 40^0 + tg 42^0 + tg 44^0 + ctg 40^0 + ctg 42^0 + ctg 44^0 \ge \\ \\
\ge 6 \sqrt[6]{tg40^0 \cdot ctg 40^0 \cdot tg 42^0 \cdot ctg 42^0 \cdot tg 44^0 \cdot ctg 44^0}=6\sqrt[6]{1}=6=P}\)


ale Twój sposób jest także poprawy.
ODPOWIEDZ