Udowodnić tożsamość cyklometryczną

[Matteosh]

Witam

Chciałbym, żebyście rzucili okiem na moje wypociny w udowadnianiu kolejnej tożsamości trygonometrycznej i jeżeli coś jest nie tak, to poprawili mnie i podpowiedzieli jak to zrobić. Wydaje mi się, że to co zrobiłem, to trochę masło maślane, ale może coś wreszcie mi się udało . A zatem:

Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ sin(arctgx)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}\)

i teraz moje rozwiązanie:

niech \(\displaystyle{ x=tg\alpha}\), wówczas \(\displaystyle{ \alpha=arctgx}\)

\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=tg\alpha}\)

\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{tg\alpha}{cos\alpha}}\)

||
||a \(\displaystyle{ arctgx=arccos\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}}\)
||
||zatem \(\displaystyle{ cos(arctgx)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}}\)
||

podstawiam \(\displaystyle{ \alpha=arctgx}\)

i otrzymuję \(\displaystyle{ sin(arctgx)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}\)

Jak już wcześniej wspomniałem, mam wątpliwości, czy użycie tej własności, której użyłem w tym zakreskowanym polu powyżej nie robi z mojego dowodu masła maślanego? ??:

[DEXiu]

Yyy. Chyba trochę się zagalopowałeś Ale początek dobry:
\(\displaystyle{ \sin(arctgx)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}\)
Podstawiamy tak jak to zrobiłeś
\(\displaystyle{ x=\tg\alpha}\), skąd \(\displaystyle{ \alpha=arctgx}\),
czyli do udowodnienia mamy, że
\(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{\tg\alpha}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}}\)
Podstawiamy za tangensa iloraz sinusa i cosinusa i chyba wyjdzie co należy

[Matteosh]

Dzięki, sprawdzę to jutro