Równanie trygonometryczne (R)

[dario777]

Witam
Mam problem z tym zadaniem proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ sinx*sin2x=0}\)
Próbowałem tak ale nie wiem co dalej:
\(\displaystyle{ \frac{cosx-cos3x}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{cosx-4cos ^{3} x+3cosx}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{4cosx-4cos ^{3} x}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ 2cosx(1-cos ^{2}x )=0}\)
\(\displaystyle{ cosx=0}\) lub \(\displaystyle{ cos ^{2} x=1}\)

Rozwiązanie ma postać \(\displaystyle{ x= \frac{k \pi }{2}}\)

Mam jeszcze pytania czy \(\displaystyle{ cosx=1}\) i \(\displaystyle{ sinx=0}\) mają rozwiązanie \(\displaystyle{ x=k \pi}\) i jak to można dowieść ?
Pozdrawiam

[anna_]

\(\displaystyle{ sinx \cdot sin2x=0}\)

\(\displaystyle{ sinx=0 \ lub \sin2x=0}\)

[dario777]

Mam dwa wyniki\(\displaystyle{ x=k \pi}\) oraz \(\displaystyle{ x= \frac{k \pi}{2}}\) dlaczego w odpowiedzi jest tylko jeden ?

[anna_]

Nie mam pojęcia. Powinny być dwa.-- dzisiaj, o 19:21 --JUż wiem \(\displaystyle{ x=k\pi}\) zawiera się się w \(\displaystyle{ x= \frac{k \pi}{2}}\)

[dario777]

Dzięki za pomoc

Mam jeszcze pytania czy \(\displaystyle{ cosx=1}\) i \(\displaystyle{ sinx=0}\) mają rozwiązanie \(\displaystyle{ x=k \pi}\) i jak to można dowieść ?
Pozdrawiam

Jeszcze to

[anna_]

Nie bardzo rozumiem.
Rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ cosx=1}\) jest \(\displaystyle{ x=k \pi}\)
Rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ sinx=0}\) jest \(\displaystyle{ x=k \pi}\)
Co chcesz tutaj udowadniać?

[dario777]

Co robię źle ?
\(\displaystyle{ six ^{2} x= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sinx= \frac{\sqrt{2}}{2} lub sinx= \frac{-\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}}\) lub\(\displaystyle{ x= \frac{ 3\pi }{4}}\)
A w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+ \frac{k \pi }{2}}\)

Edit:
Mam jeszcze problem z \(\displaystyle{ sin2x=cos5x*sin2x}\)
Mogę podzielić obie strony przez sin2x ?

[anna_]

Nie odczytałeś wszystkich rozwiązań z wykresu:
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{3 \pi }{4}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ x= -\frac{ 3\pi }{4}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x= -\frac{ \pi }{4}+2k\pi}\)

A to to samo co \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+ \frac{k \pi }{2}}\), ale jak to się liczyło, to szczerze mówiąc nie pamiętam.


Dzielić możesz tylko jak założysz, że \(\displaystyle{ sin2x \neq 0}\), poza tym zgubisz jedno rozwiązanie. Lepiej wyłączyć przed nawias

\(\displaystyle{ sin2x=cos5x*sin2x}\)

\(\displaystyle{ sin2x-cos5x*sin2x=0}\)

\(\displaystyle{ sin2x(1-cos5x)=0}\)

\(\displaystyle{ sin2x=0}\) lub \(\displaystyle{ 1-cos5x=0}\)

[dario777]

Dobra zrobiłem tak jak radziłaś i wyszło tak \(\displaystyle{ x= \frac{k \pi }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x= \frac{k \pi }{5}}\) a odpowiedzi są takie \(\displaystyle{ x= \frac{k \pi }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x= \frac{2k \pi }{5}}\)
Dlaczego przy sinusie jest\(\displaystyle{ k \pi}\) a przy cosinusie jest \(\displaystyle{ 2 k \pi}\)

[anna_]

Sinus przyjmuje wartośc zero co \(\displaystyle{ k\pi}\), cosinus przyjmuje wartość jeden co \(\displaystyle{ 2k\pi}\)

[dario777]

\(\displaystyle{ six2x+1=cos4x}\)
\(\displaystyle{ 2sinxcosx+1=8cos ^{4}x-8cos ^{2} x +1}\)
\(\displaystyle{ sinx=4cos ^{3}x -4cosx}\)
Nie wiem co dalej ?

Edit:
Mam jeszcze pytanie czy:
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}+2k \pi = \frac{ \pi }{12}+k \pi}\) te wyniki są równe ?

[Canthar]

Ja do tego równania podstawiłbym t=2x i otrzymamy:
\(\displaystyle{ sint+1=cos2t=1-2sin^{2}t}\)
Rozwiązujesz dalej zwykłe równanie kwadratowe.

[Majeskas]

Te wyniki nie są równe. Narysuj je sobie na osi liczbowej.

[dario777]

Dzięki Canthar dobre wyniki
Nie wiem jak się zabrać za \(\displaystyle{ sin ^{4}x+cos^{4}x=cos4x}\) ?

[Canthar]

Rozbijasz to tak: \(\displaystyle{ sin^{4}x+cos^{4}x=(sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}-2sin^{2}xcos^{2}x=1-2sin^{2}xcos^{2}x}\)
Prawą stronę rozbijasz: \(\displaystyle{ cos4x=1-sin^{2}2x=1-4sin^{2}xcos^{2}x}\)
Teraz łatwo rozwiązujesz.