trygonometria kąta ostrego

[mateps6]

1Sprawdż, czy podana równość jest tożsamością trygonometryczną, podaj założenia:
\(\displaystyle{ \frac{\tg \alpha\left(1+\ctg ^{2} \alpha\right) }{1+\tg ^{2} \alpha } =\ctg \alpha}\)
2 Wiedząc, że \(\displaystyle{ \tg x= \frac{- \sqrt{2} }{4}}\) i \(\displaystyle{ \sin x>0}\), wyznacz \(\displaystyle{ \sin x, \cos x, \ctg x}\).
3 czy funkcje opisane wzorami \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\sin x}-\cos x\cdot \ctg x}\) oraz
\(\displaystyle{ \tg x \cdot \cos x}\) są równe.

[Kamilekzmc]

\(\displaystyle{ \frac{tg+ctg^{2} \cdot tg}{1+tg^{2}} = \frac{ \frac{1}{ctg}+ctg }{1+ \frac{1}{ctg^{2}} } = \frac{ \frac{1+ctg^{2}}{ctg} }{ \frac{ctg^{2}+1}{ctg^{2}} }=ctg}\)
pisałem bez alf bo mi się nie chciało:p

-- 11 maja 2010, 20:59 --

jeśli tg jest ujemy i sin jest dodatki więc to musi być druga ćwiartka układu:P czyli \(\displaystyle{ ( \alpha \in \frac{ \pi }{2} , \pi )}\)

\(\displaystyle{ tg= \frac{sin}{cos} = -\frac{ \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}+cos^{2}=1}\)

po wyliczeniu sin z pierwszego \(\displaystyle{ sin=- \frac{ \sqrt{2} }{4}cos}\) i podstawienia do drugiego wychodzi mi że \(\displaystyle{ cos^{2}= \frac{4}{5}}\) czyli cos musi być ujemny więc \(\displaystyle{ cos=- \frac{2 \sqrt{5} }{5}}\)

po podstawieniu do wyliczonego wcześniej sin wychodzi że \(\displaystyle{ sin= \frac{ \sqrt{10} }{10}}\)
\(\displaystyle{ ctg= \frac{1}{tg}}\)-- 11 maja 2010, 21:04 --po lekkich przekształceniach obie funkcje doprowadzamy do postaci \(\displaystyle{ f(x)=sinx}\) ale to nie wszystko musimy jeszcze sprawdzić dziedziny tych funkcji...
pierwsza: widzimy że sinx jest w mianowniku więc \(\displaystyle{ sinx \neq 0}\) a więc \(\displaystyle{ x \neq k \pi}\)
druga: cosx jest w mianowniku w tym tgx, czyli \(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{2} +k \pi}\)

dziedziny obu funkcji nie są równe więc obie funkcje nie są równe!