Rozwiąż równanie oraz nierówność

[TTBoS]

Witam

Będę bardzo wdzięczny za rozwiązanie poniższych zadań.
Z góry dziękuje.

1. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin x=\frac{1}{2}}\) oraz nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{3} \tg x -1\ge0}\) w przedziale \(\displaystyle{ <0,2\pi>}\)

2. Wykaż że

a) \(\displaystyle{ (\tg^{2} x - \sin^{2} x) \cdot \ctg^{2} x = \sin^{2} x}\)

b) \(\displaystyle{ \tg x - \ctg x = (\tg x - 1) (\ctg x + 1)}\)

3*. Określ wzajemne położenie
prostej i okręgu, mając ich równania:
\(\displaystyle{ x - y - 1 = 0}\) i \(\displaystyle{ (x+1)^{2} + y^{2} = 2}\)

*wiem ze nie ten dział lecz nie chciałem zakładać nowego tematu.

[Mikolaj9]

2.

a)

\(\displaystyle{ L=1-cos^{2}x}\)

b)

Prawą stronę wystarczy wymnożyć.

Pamiętaj, że \(\displaystyle{ \tg x \cdot \ctg x=1}\).

3* Co w tym trudnego? Jak wiesz jak "przeczytać" wzory okręgu i prostej, to możesz je narysować. Jeśli masz to zrobić algebraicznie, przenieś promień na lewą stronę i przyrównaj te dwa wyrażenia. Relację w jakiej są prosta i okrąg możesz określić, znając liczbę rozwiązań równania, które Ci z tego wyjdzie.

[TTBoS]

Hmm jeśli można prosiłbym o przejrzyste rozwiązania tych zadań ponieważ mam sporo takich przykładów i bardzo by mi pomogły rozwiązania na których mógłbym się kierować i sprawdzić czy dobrze myślę przy pozostałych zadaniach bo nie jestem pewien czy dokładnie zrozumiałem i wolałbym mieć to czarno na białym ze wszystkimi obliczeniami.

[Leniu]

1. Musisz mieć przed oczami wykresy funkcji \(\displaystyle{ y=sinx}\) i \(\displaystyle{ y=tgx}\), ponieważ przede wszystkim z ich analizy wynika rozwiązanie.

\(\displaystyle{ sinx=\frac{1}{2} \Rightarrow sinx=sin \frac{\pi}{6} \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}}\), w przedziale \(\displaystyle{ <0,2\pi >}\) wartość ta jest przyjmowana w dwóch miejscach, skoro znamy pierwszy \(\displaystyle{ (x_{1} = \frac{\pi}{6} )}\) możemy wyznaczyć i drugi: \(\displaystyle{ x_{2}=\pi-x_{1} = \frac{5}{6} \pi}\) (wynika z analizy wykresu).

Jeżeli chodzi o nierówność to: \(\displaystyle{ \sqrt{3}tgx-1\ge 0 \Rightarrow tgx\ge \frac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow tgx \ge tg \frac{\pi}{4} \Rightarrow x \ge \frac{\pi}{4}}\). Teraz zauważ, że w podanym przedziale taka nierówność występuje dwa razy: \(\displaystyle{ x_{1} \ge \frac{\pi}{4}}\), oraz \(\displaystyle{ x_{2} \ge \pi+\frac{\pi}{4}}\) (wynika z analizy wykresu). Ponadto każda z nierówności, zmierza odpowiednio dla \(\displaystyle{ x_{1}}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\pi}\) oraz dla \(\displaystyle{ x_{2}}\) do \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi}\) (wynika z analizy wykresu). Zatem odpowiedź to suma dwóch przedziałów: \(\displaystyle{ x \in < \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \pi) \cup < \frac{5}{4} \pi, \frac{3}{2} \pi)}\)

2.

a)
\(\displaystyle{ (tg^{2}x-sin^{2}x)*ctg^{2}x=sin^{2}x \Rightarrow 1-ctg^{2}x*sin^{2}x=sin^2{x} \Rightarrow 1=sin^{2}x+\frac{1}{tg^{2}x}sin^{2}x \Rightarrow 1=sin^{2}x + \frac{cos^{2}x}{sin^{2}x}*sin^{2}x \Rightarrow 1=1 \Rightarrow L=P}\)

b)
Wymnóż, poukładaj i na tej samej zasadzie wykaż, że L=P.

3.
\(\displaystyle{ x -y-1=(x+1)^{2} }+y^{2}-2}\)
Poukładaj i wylicz \(\displaystyle{ \Delta}\).
Jeżeli:
-\(\displaystyle{ \Delta>0}\) prosta przecina okrąg
-\(\displaystyle{ \Delta=0}\) prosta jest styczna
-\(\displaystyle{ \Delta<0}\) prosta ani nie przecina, ani nie jest styczna do okręgu

[TTBoS]

2.

b)
Wymnóż, poukładaj i na tej samej zasadzie wykaż, że L=P.

Prawdopodobnie robię coś źle lub na pewno ponieważ nie mogę dojść pozytywnego wyniku w tym obliczeniu i bardzo bym prosił o rozwiązanie i jego.

Co do reszty zadań dziękuje za pomoc.

[Lbubsazob]

2b)
\(\displaystyle{ \left(\tg x-1 \right) \left( \ctg x+1\right)=\tg x \ctg x+\tg x-\ctg x-1=1-1+\tg x-\ctg x=\tg x-\ctg x}\)