Rozwiąż nierówności

[myszka666]

Rozwiąż nierówności:
a) \(\displaystyle{ sin2x<|sinx|+sinx}\), jeśli \(\displaystyle{ x \in<0;2 \pi >}\)
b) \(\displaystyle{ (\frac{1}{3})^{sin3x}> (\frac{1}{3})^{sinx}}\)
c) \(\displaystyle{ log_{ \frac{1}{2} } |sinx|< log_{ \frac{1}{2} } |cosx|}\)

[tometomek91]

a)
\(\displaystyle{ sin2x< \begin{cases} 2sinx\ \ dla\ \ sinx \ge 0 \\ 0\ \ dla\ \ sinx<0 \end{cases}\\
2sinxcosx< \begin{cases} 2sinx\ \ dla\ \ x \in \langle 0;\pi \rangle \cup \{ 2\pi \} \\ 0\ \ dla\ \ x \in \left( \pi; 2 \pi \right) \end{cases}\\
1)\\
x \in \langle 0;\pi \rangle \cup \{ 2\pi \}\\
2sinxcosx<2sinx\\
2sinx(cosx-1)<0\\
\left( sinx<0 \wedge cosx>1 \right) \vee \left( sinx>0 \wedge cosx<1 \right)\\
x \in \left( 0; \pi \right)\\
\\
2)\\
x \in \left( \pi; 2 \pi \right)\\
sin2x<0\\
x \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \cup \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right)}\)

Rozwiązaniem jest zbiór \(\displaystyle{ \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right)}\).

[myszka666]

Ale w a) wydaje mi się że trzeba wziąć sumę tych dwóch rozwiązań czyli \(\displaystyle{ x \in (0; \pi ) \cup ( \frac{3}{2} \pi ;2 \pi )}\), dobrze myślę?
Próbowałam rozwiązać c) i wyszło mi że \(\displaystyle{ x \in ( \frac{ \pi }{4} +k \pi ; \frac{ \pi }{2} +k \pi ), k \in C}\), nie wiem czy jest dobrze

[Inkwizytor]

a) oczywiście suma rozwiązań dwóch rozłącznych przypadków
c) \(\displaystyle{ |sinx| > |cosx|}\) najlepiej rozwiązać graficznie. Na jednym układzie współrzędnych narysować oba wykresy (ładne punkty przecięcia) i odczytać przedziały. Potem dołożyć parametr k i gotowe. (czemu tylko do \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\)?)

[myszka666]

Nie wiem czy tak można:
skoro w \(\displaystyle{ log_{a} c, c>0}\) to \(\displaystyle{ |sinx|>0}\) i \(\displaystyle{ |cosx|>0}\) to zachodzi gdy \(\displaystyle{ sinx \neq 0}\) i \(\displaystyle{ cosx \neq 0}\). Później opuściłam wartość bezwzględną \(\displaystyle{ sinx>cosx \Rightarrow \frac{sinx}{cosx}>1 \Rightarrow tgx>1}\) i rozwiązałam tą nierówność.

[Inkwizytor]

Założenie o \(\displaystyle{ sinx \neq 0}\) i \(\displaystyle{ cosx \neq 0}\).
A czemu opuszczasz wartość bezwzględną?

Przykład \(\displaystyle{ |- \frac{ \sqrt{3} }{2}| > | \frac{1}{2}|}\) i teraz opuszczę w.b. \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{2} > \frac{1}{2}}\)

[myszka666]

Aha, już wiem o co chodzi, dzięki
Może wiesz co zrobić z b)?

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ sin3x < sinx}\)
1. znowu można graficznie
2. Ale można tez tak:
\(\displaystyle{ sinx(3 - 4 sin2x) - sinx < 0 \\
sinx(2 - 4 sin2x) < 0}\)

Gdy \(\displaystyle{ sinx >0 , \ , x \in (0,\pi)}\)
\(\displaystyle{ 2 - 4 sin2x < 0}\)
Gdy \(\displaystyle{ sinx <0 , \ , x \in (\pi,2 \pi)}\)
\(\displaystyle{ 2 - 4 sin2x > 0}\)

Potem tylko dołożyc parametr k

[lukasz1804]

b) Z monotoniczności funkcji wykładniczej dostajemy \(\displaystyle{ \sin 3x<\sin x}\). Stąd \(\displaystyle{ \sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x=\sin (2x+x)<\sin (2x-x)=\sin 2x\cos x-\cos 2x\sin x}\), więc mamy \(\displaystyle{ \cos 2x\sin x<0}\) i wobec tego \(\displaystyle{ (1-2\sin^2x)\sin x<0}\), tj. \(\displaystyle{ -1\le\sin x<-\frac{\sqrt{2}}{2}\vee 0<\sin x<\frac{\sqrt{2}}{2}}\).

Dalej wystarczy rozwiązać otrzymane nierówności w oparciu o wykres funkcji sinus.