równanie trygonometryczne

[katrina3009]

mam rozwiązać równanie trygonometryczne:
1.
\(\displaystyle{ sinx+cosx= \sqrt{2}}\)
2.
\(\displaystyle{ sin ^{4}x+cos ^{4}x = 1}\)
ma ktoś jakiś pomysł?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ sin ^{4}x+cos ^{4}x \le sin^2 x+cos^2 x}\)

[katrina3009]

hmm a czemu równość w nierówność przekształcasz?
a co do pierwszego to może być tak?
\(\displaystyle{ sinx+cosx= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ sin ^{2}x+cos ^{2}x +2sinxcosx=2}\)
\(\displaystyle{ 2sinxcosx=1}\)
\(\displaystyle{ sinxcosx= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin ^{2}x(1-sin ^{2}x)= \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ -sin ^{4}+sin ^{2}x- \frac{1}{4}=0}\)
i teraz podstawić za \(\displaystyle{ sin ^{2}x}\)np. t<0;1>
i wychodzi tak:
\(\displaystyle{ t= \frac{1}{2}}\)
wiec \(\displaystyle{ sin ^{2}x= \frac{1}{2}
sinx= \frac{ \sqrt{2} }{2}= \frac{pi}{4}}\)
może tak być?

[Nakahed90]

Nie możesz podnieść obustronnie do kwadratu, bo nie znasz znaku wyrażenia po lewej stronie.

[katrina3009]

no to co z tym zrobić?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ sinx+cosx= \sqrt{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}cosx=1 \\ \frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx=1 \\ sin\frac{\pi}{4}sinx+cos\frac{\pi}{4}cosx=1}\)

[katrina3009]

no i to jest wzór na cosinus różnicy. ale z tego wynika ze
\(\displaystyle{ cos( \frac{ \pi }{4}-x) =1}\) korzystajac z przystości moge to zmienić na
\(\displaystyle{ cos(x- \frac{ \pi }{4}) = 1}\) tak?

[Nakahed90]

Tak.

[katrina3009]

dzięki wielkie.