Twierdzenie sinusów

[mikrobart]

1. Trójkąty ABC i DEF wpisano w ten sam okrąg. Udowodnij, że równość odwodów tych trójkątów jest równoważna równości sum sinusów ich kątów wewnętrznych.

2. Dwa spośród kątów trójkąta mają miary \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\), a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest długości \(\displaystyle{ R}\). Oblicz obwód tego trójkąta.

3. Na prostej przechodzącej przez podstawę wieży wyznaczono dwa takie punkty A i B, że \(\displaystyle{ AB=20 m}\). Z punktu A wierzchołek wieży widać pod kątem \(\displaystyle{ 75}\) stopni, a z punktu B pod kątem \(\displaystyle{ 45}\) stopni. Oblicz wysokość wieży.

4. Pod jakim kątem względem prądy rzeki sternik kieruje łódź, jeśli płynie ona po prostej tworzącej z kierunkiem prądu rzeki kąt 30 stopni, prędkość prądu wynosi \(\displaystyle{ 1 \frac{m}{s}}\), a prędkość własna łodzi \(\displaystyle{ 1,5 \frac{m}{s}}\) ?

Bardzo proszę o pomoc

[piasek101]

1. Wyznacz ich boki z tw. sinusów, podstaw otrzymane do obwodu i otrzymasz co chcą.

2. Podobnie - znając dwa kąty masz trzeci, boki z sinusów i obliczasz obwód.

[pelas_91]

Zadanie 2.

Bezpośrednio z Tw. Sinusów wyznacz sobie długości boków w zależności od R. Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \sin\gamma=\sin(180^o-(\alpha+\beta))=\sin(\alpha+\beta)}\)-- 2 maja 2010, 11:07 --Zadanie 3.

To jest zwykły trójkąt o boku 20 m, kąty przy tym boku mają miary podane w zadaniu. Wysokość wieży to wysokość tego trójkąta. Z Tw. Sinusów wylicz długości boków trójkąta, a ze związków trygonometrycznych długość wysokości.

[mikrobart]

Czy w 3 wyjdzie \(\displaystyle{ 10+15 \sqrt{2}}\) ?

[pelas_91]

Czy w 3 wyjdzie \(\displaystyle{ 10+15 \sqrt{2}}\) ?

Mnie wychodzi inny wynik. Podaj jeszcze jakie Ci wyszły długości boków trójkąta?

-- 2 maja 2010, 13:43 --

Zadanie 4.

On płynie z prądem rzeki czy pod prąd?

-- 2 maja 2010, 13:48 --

Jeśli płynie z prądem rzeki to:

Narysuj sobie równoległobok ABCD. \(\displaystyle{ |AB|=1,5}\) oraz \(\displaystyle{ |AD|=1}\).
Wektor \(\displaystyle{ \vec{AD}}\) to wektor prędkości nurtu rzeki. Natomiast wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) to wektor prędkości własnej statku.
W rezultacie statek płynie z prędkością, którą obrazuje wektor \(\displaystyle{ \vec{AC}}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ | \sphericalangle DAC|=30^o}\), zatem \(\displaystyle{ | \sphericalangle BCA|=30^o}\). Z Tw. Sinusów dla trójkąta ABC oblicz jakim kątem jest CAB. Kąt o który pytają w zadaniu to BAD.-- 2 maja 2010, 14:00 --Jeśli by jednak płynął pod prąd to chyba by to wyglądało tak:

Znowu równoległobok ABCD tym razem o bokach \(\displaystyle{ |AD|=1}\) oraz \(\displaystyle{ |DC|=1,5}\).
Wektor \(\displaystyle{ \vec{DA}}\) - nurt rzeki. Wektor \(\displaystyle{ \vec{DC}}\) - prędkość własna łodzi.
W rezultacie płyniemy z prędkością, której odpowiada wektor \(\displaystyle{ \vec{DB}}\).
Z treści zadania wiemy, że kąt przystający do kąta ADB ma miarę 30*. Czyli \(\displaystyle{ | \sphericalangle ADB|=150^o}\). Z Twierdzenia Sinusów dla trójkąta ABD wylicz kąt DAC. Mając go obliczysz \(\displaystyle{ | \sphericalangle BDC|=| \sphericalangle ABD|}\), skąd policzysz kąt przystający do ADC, o który pytaja w zadaniu.