Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości

[v_vizis]

Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{1-\sin ^{4}x-\cos ^{4}x }{1-\cos ^{2}x-\sin ^{6}x }}\).

Pozdrawiam

[Qń]

Mamy:
\(\displaystyle{ 1-\cos^2x-\sin^6x=\sin^2 x-\sin^6x=\sin^2x(1-\sin^4x) = \\ =\sin^2x(1-\sin^ 2x)(1+\sin^2x)=\sin^2x\cos^2x(1+ \sin^2x)}\)
skąd w szczególności widać, że dziedzina to \(\displaystyle{ \mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{k\pi}{2} \ : \ k\in\mathbb{Z}\right\}}\).

Mamy też:
\(\displaystyle{ 1-\sin ^4x-\cos ^4x= 1- (\sin^2x+\cos^2x)^2+2\sin ^2x\cos^2x=2\sin^2x\cos^2x}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2}{1+\sin ^2x}}\)

W dziedzinie mamy \(\displaystyle{ (1+\sin^2x) \in (1,2)}\) (przedział otwarty!), tak więc zbiorem wartości tej funkcji jest też \(\displaystyle{ (1,2)}\).

Q.

[AsiaPipitrasia]

Mamy też:
1-sin ^4x-cos ^4x= 1- (sin^2x+cos^2x)^2+2sin ^2xcos^2x=2sin^2xcos^2x

Może mi ktoś jeszcze raz wytłumaczyć to przejście?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ 1-\sin ^4x-\cos ^4x= 1- (\sin^2x+\cos^2x)^2+2\sin ^2x\cos^2x=2\sin^2x\cos^2x}\)

A czego w tym przejściu nie rozumiesz? Jedynka trygonometryczna się kłania i wzor skroconego mnozenia

[AsiaPipitrasia]

Skoro to takie proste, to nie mógłbyś tego rozpisać?

[miodzio1988]

Ale co tutaj jest do rozpisywania? Skorzystaj ze wzoru skroconego mnozenia. Tyle

[AsiaPipitrasia]

Ech, gdyby to przejście było takie oczywiste to nie było by problemu z rozpisaniem tego.
Nie widzę skąd i jak wszystko się tak poskracało w ostatnim przejściu.

Mniej czasu by Ci zajęło rozpisanie mi po ludzku tego, aniżeli utwierdzanie mnie (?) w przekonaniu, że to takie proste i oczywiste.

[miodzio1988]

Poskracało się, bo została zastosowana jedynka trygonometryczna, która jest tak widoczna....Serio, to jest oczywiste. I zamiast prosić o rozpisanie pomyśl troszkę sama, ok?

[AsiaPipitrasia]

Jest widoczna, wszystko fajnie i super. A przejścia dalej nie widzę.
Wzór skróconego mnożenia - ok, jedynka - ok i co dalej?

Chodzi mi dokładnie o ostatnie przejście / czyli po skorzystaniu ze wzoru, i przed użyciem jedynki trygonometrycznej /.

[miodzio1988]

No to ostatnie przejcie to jest :

\(\displaystyle{ 1-1 ^{2}=1-1 =0}\)

z tego korzystamy....

[AsiaPipitrasia]

Dobra zgadza się, ja zupełnie inaczej to widziałam.

I widzisz, dosłownie jedna linijka i wszystko jasne, a tyle rozwodzeń

Pozdrawiam, dziękuję.

[Peter Zof]

A gdybym na samym początku (po wyznaczeniu dziedziny) zrobił tak:

\(\displaystyle{ 1-\sin^{2}x-\cos^{2}x=(\sin^{2}+\cos^{2})-\sin^{2}x-\cos^{2}x=0}\)?

[Qń]

A gdybym na samym początku (po wyznaczeniu dziedziny) zrobił tak:
\(\displaystyle{ 1-\sin^{2}x-\cos^{2}x=(\sin^{2}+\cos^{2})-\sin^{2}x-\cos^{2}x=0}\)?

...to ciężko byłoby stwierdzić co właściwie robisz.

Bo oczywiście to prawidłowe przekształcenie, tylko nie bardzo ma związek z zadaniem z tego wątku.

Q.

[Peter Zof]

A czy nie wynikałoby wtedy, że dla każdego iksa należącego do dziedziny wartość funkcji będzie równa 0?

[Qń]

Przyjrzyj się jeszcze raz jak wygląda licznik tej funkcji.

Q.