Rozwiązac równania trygonometryczne

[_p_h_p_]

1| \(\displaystyle{ 3sinx=2cos^2x}\)
2) \(\displaystyle{ cosx-cos3x=sinx-sin3x}\)
3) \(\displaystyle{ tg(\frac{\pi}{3}-x)-tgx=0}\)

[baksio]

A.d. 1
\(\displaystyle{ cos^2x = 1-sin^2x}\)
Podstawiamy i wychodzi nam równanie :
\(\displaystyle{ 3sinx = 2 - 2sin^2x}\)
\(\displaystyle{ sinx=t}\) gdzie \(\displaystyle{ t }\)
i dostajemy zwykłe równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ 2t^2 +3t - 2=0}\)

[_p_h_p_]

Co do pierwszego, to tak mi wyszło, tylko że delta jest ujemna. Jak to się ma fo rozwiązań zadania z tego przedziału ??

[bolo]

Ad. 1. \(\displaystyle{ \Delta=25}\)

Ad. 3.

\(\displaystyle{ tg (\frac{\pi}{3}-x)=tg x \\ \frac{\pi}{3}-x=x+k\pi \\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\qquad k\in\mathbb{C}}\)

[baksio]

Delta wychodzi dodatnia
\(\displaystyle{ \Delta = (3)^2 - 4*2*(-2) = 9+16=25}\)
\(\displaystyle{ t_{1} = -2 \quad }\)
\(\displaystyle{ t_{2} = \frac{1}{2} \quad }\)
więc
\(\displaystyle{ sinx = \frac{1}{2}}\)

[_p_h_p_]

Ok, Mały błąd w rachunkach.

Zostało jeszcze drugie. Próbowałem zrobic to ze wzorów na różnicę funkcji trygonometrycznych, ale też nic nie wychodzi. Pewno znowu błąd w rachunkach, ale czy mógł by ktoś to zweryfikowac ??

[greey10]

2)
zastosuj wzor na sin3a a takze na cos3a jak nei znasz to wyprowadz sobie
ja go zastosujesz wyjdzie ci
\(\displaystyle{ \cos{x}(1-cos^{2}{x}+3sin^{2}{x})=sin{x}(cos^{2}{x}-3cos{x})\\}\) teraz korzystasz z jedynki trygonemetrycznej
\(\displaystyle{ 4\cos{x}\sin^{2}{x}=\sin{x}(\cos^{2}{x}-3\cos{x})\\
x\neq{0}\\
4\cos{x}\sin{x}=\cos^{2}{x}-3\cos{x}\\
sinx=\sqrt{1-\cos^{2}{x}}}\) noi teraz musisz podstawic i rozwiazac

[_p_h_p_]

Ale zaczarowałeś

Nie wystarczy skorzystac ze wzoru na różnicę \(\displaystyle{ sin\alpha-sin\beta}\) i \(\displaystyle{ cos\alpha-cos\beta}\) ??

Wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ -2sin2xsin(-x)=2sin(-x)cos2x}\)

Nie wiem jak to uprościc

[bolo]

Ad. 2. Można też tak:

\(\displaystyle{ cos x-cos3x=sin x-sin3x \\ cos x-sin x=cos3x-sin3x \\ cos x+sin(-x)=cos3x+sin(-3x) \\ sin(x+\frac{\pi}{2})+sin(-x)=sin(3x+\frac{\pi}{2})+sin(-3x)}\)

Dalej już powinieneś sobie poradzić.

[greey10]

staralem sie jak najbardziej naokolo

[_p_h_p_]

Ad. 2. Można też tak:

\(\displaystyle{ cos x-cos3x=sin x-sin3x \\ cos x-sin x=cos3x-sin3x \\ cos x+sin(-x)=cos3x+sin(-3x) \\ sin(x+\frac{\pi}{2})+sin(-x)=sin(3x+\frac{\pi}{2})+sin(-3x)}\)

Dalej już powinieneś sobie poradzić.

Chyba sobie nie poradze

Ale zrobilem swoim sposobem i wyszlo -tg2x=1

czyli tg2x =-1

no i jak wyznaczyc poprawnie z tego okres podstawowy, bo tego nie czaje

[greey10]

znaczy ci chodzi o to jak wyznaczyc x?? tak xP
\(\displaystyle{ x=\frac{\arctan(-1)}{2}}\)

[_p_h_p_]

Nie chodzi mi o wyznaczenie okresu podstawowego

Według mnie to wpoinno wyglądac: \(\displaystyle{ 2x=\frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ x=\frac{\pi}{4} + k\pi}\)

Czyli co ten okres funkcja będzie przyjmowac wartosc -1 ??

A tak po za tym to czy x = \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k\p}\)

?

[bolo]

greey10 - to przecież należy dalej rozpisać.

\(\displaystyle{ \frac{arctg (-1)}{2}=-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\qquad k\in\mathbb{C}}\)

[Faff]

Delta wychodzi dodatnia
\(\displaystyle{ \Delta = (3)^2 - 4*2*(-2) = 9+16=25}\)
\(\displaystyle{ t_{1} = -2 \quad \notin}\)
\(\displaystyle{ t_{2} = \frac{1}{2} \quad \in}\)
więc
\(\displaystyle{ sinx = \frac{1}{2}}\)

Zad. 1

\(\displaystyle{ t_{2} = \frac{1}{2} \quad \in}\)

więc w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0,\right \frac{ \pi }{2} )}\)

rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \frac{\pi }{6}}\) ??