Wykazać i obliczy dane wyrażenie

[halskii]

Dane jest wyrażenie: \(\displaystyle{ sin \alpha + sin \alpha \cdot tg ^{2} \alpha}\) , gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in (0^{o},90^{o})}\).

a) Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) wyrażenie równa się \(\displaystyle{ \frac{tg \alpha }{con \alpha }}\)

b) Oblicz wartość tego wyrażenia dla \(\displaystyle{ \alpha = 60^{o}}\)

[lukasz1804]

Rozważmy trójkąt prostokątny, w którym \(\displaystyle{ \alpha}\) jest jednym z kątów ostrych.
Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będzie przyprostokątną leżącą przy kącie \(\displaystyle{ \alpha}\), przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) i przeciwprostokątną.
a) Z twierdzenia Pitagorasa oraz z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy \(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin\alpha\tg^2\alpha=\frac{b}{c}+\frac{b}{c}\cdot\frac{b^2}{a^2}=\frac{b}{c}(1+\frac{b^2}{a^2})=\frac{b}{c}\cdot\frac{a^2+b^2}{a^2}=\frac{b}{c}\cdot\frac{c^2}{a^2}=\frac{bc}{a^2}=\frac{\frac{b}{a}}{\frac{a}{c}}=\frac{\tg\alpha}{\cos\alpha}}\).

b) Dla \(\displaystyle{ \alpha=60^o}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{\tg 60^o}{\cos 60^o}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{3}}\).