tożsamość trygonometryczna

[Zen]

sprawdz czy rownosc jest tozsamoscia trygo.

\(\displaystyle{ \sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = (\sin(x))^{2} - (\sin(y))^{2}}\)

[math questions]

\(\displaystyle{ sin(x+y) \cdot sin(x-y)=(sinx \cdot cosy+cosx \cdot siny)(sinx \cdot cosy-cosx \cdot siny)=(sinx \cdot cosy) ^{2}- sinx \cdot cosy \cdot cosx \cdot siny+sinx \cdot cosy \cdot cosx \cdot siny-(cosx \cdot siny) ^{2} =(sinx \cdot cosy) ^{2}-(cosx \cdot siny) ^{2}=sin ^{2}x(1-sin ^{2}y)-(1-sin ^{2}x) sin ^{2}y=sin ^{2}x-sin ^{2}x \cdot sin ^{2} y-sin ^{2}y+sin ^{2}x \cdot sin ^{2} y=sin ^{2}x-sin ^{2} y}\)

[Kukis]

Wychodząc od lewej strony i stosując wzory sumy kątów mamy:
\(\displaystyle{ L = (\sin x\cos y + \cos x \sin y)*( \sin x \cos y - \cos x \sin y) = \sin ^2 x * cos ^2 y - \sin x \sin y \cos x \cos y + \sin x \sin y \cos x \cos y - \cos^2 x * \sin^2 y = \sin^2 x(1 - \sin^2 y) - (1- \sin^2 x)* \ sin^2 y = \sin^2 x - \sin^2 y * \sin^2 x - \sin^2 y + \sin^2 x * \sin^2 y = \sin^2 x - \sin^2 y}\)