zbiór wartości funkcji

[ewwka]

wyznacz zbiór wartości funcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{cos2x + 4sin^{2}x }}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in R}\).

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ g(x)=\cos 2x+4\sin^2x}\). Wtedy mamy \(\displaystyle{ g(x)=\cos^2x-\sin^2x+4\sin^2x=1-\sin^2x+3\sin^2x=1+2\sin^2x}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 0\le\sin^2x\le 1}\), to \(\displaystyle{ 0\le 2\sin^2x\le 2}\), czyli \(\displaystyle{ 1\le g(x)\le 3}\). W konsekwencji mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}\le f(x)\le 1}\).