suma kwadratów sinusów
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
suma kwadratów sinusów
\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta}\)
Jeżeli to jest trójkąt prostokątny, to \(\displaystyle{ \alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ}\), a z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ \beta = 90^\circ - \alpha}\). Podstawiając to wyżej i korzystając ze wzorów redukcyjnych, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha + \sin^2 (90^\circ - \alpha) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}\)
A to wynosi \(\displaystyle{ 1}\), gdyż jest to jedynka trygonometryczna.
Drugi sposób polega na rozpisaniu, czym jest sinus w trójkącie o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ c}\):
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{a}{c} \\ \sin \beta = \frac{b}{c}}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}}\)
Z twierdzenia Pitagorasa \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = c^2}\). Po uproszczeniu znowu otrzymamy \(\displaystyle{ 1}\).
Jeżeli to jest trójkąt prostokątny, to \(\displaystyle{ \alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ}\), a z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ \beta = 90^\circ - \alpha}\). Podstawiając to wyżej i korzystając ze wzorów redukcyjnych, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha + \sin^2 (90^\circ - \alpha) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}\)
A to wynosi \(\displaystyle{ 1}\), gdyż jest to jedynka trygonometryczna.
Drugi sposób polega na rozpisaniu, czym jest sinus w trójkącie o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ c}\):
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{a}{c} \\ \sin \beta = \frac{b}{c}}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}}\)
Z twierdzenia Pitagorasa \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = c^2}\). Po uproszczeniu znowu otrzymamy \(\displaystyle{ 1}\).