Witam.. Mam spory problem z kilkoma zadaniami, ponieważ nie było mnie na zajęciach i jestem kompletnie zielona w temacie.. Czy ktoś mógłby pomóc? Jakoś wytłumaczyć?
1. Wyznacz dziedzinę funkcji f(x)= \(\displaystyle{ \sqrt{cos2x-1}}\)
2.sprawdź tożsamość: (\(\displaystyle{ \frac{1}{cosx}}\)+\(\displaystyle{ \frac{1}{sinx}}\) ) (\(\displaystyle{ sinx +cosx}\))
\(\displaystyle{ \frac {1} {1+ tg^{2}x}}\) + \(\displaystyle{ \frac {1} {1+ctg ^{2} x}=1}\)
3.wyprowadź wzór na sin3 \(\displaystyle{ \alpha}\)(wyprowadzona zależność może zawierać jedynie sin \(\displaystyle{ \alpha}\) )
4. Jak rozwiązać
sinx= \(\displaystyle{ - \frac{\sqrt{3} } {2}}\)
i \(\displaystyle{ 6cosx+3 > 0}\)
cosinus, dziedzina funkcji, tożsamość.problem z obliczeniami
-
ciemniutka
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 21 kwie 2010, o 13:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: pomorskie
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
cosinus, dziedzina funkcji, tożsamość.problem z obliczeniami
1. To, co jest pod pierwiastkiem, nie może być ujemne. Zostaje nierówność do rozwiązania:
\(\displaystyle{ \cos 2x -1 \ge 0}\)
Co, przekształcając równoważnie, oznacza:
\(\displaystyle{ \cos 2x \ge 1}\)
Wiemy, ze wartość funkcji cosinus nie przekracza nigdy 1, stąd:
\(\displaystyle{ \cos 2x = 1}\)
A to już łatwo rozwiązać (jeśli nie - pisz).
2. Zapisz całe wyrażenie w jednym znaczniku i popraw zapis - w pierwszym wyrażeniu nie ma znaku równości, a jeżeli jest to jedna tożsamość, to uporządkuj to jakoś tak, żeby można było zrozumieć, co jest czym .
3. To zadanie jest nieco trudniejsze. Zacznę od tożsamości, która z pewnością jest mało znana:
\(\displaystyle{ \sin nx = 2 \cos x \sin (n-1)x - \sin (n-2)x}\)
Na tej podstawie:
\(\displaystyle{ \sin 3x = 2 \cos x \sin 2x - \sin x}\)
Znamy wzór na sinus kąta podwojonego:
\(\displaystyle{ \sin 3x = 2 \cos x (2 \sin x \cos x) - \sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin 3x = 4 \cos^2 x \sin x - \sin x}\)
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \sin 3x = 4 (1 - \sin^2 x) \sin x - \sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin 3x = 4 \sin x - 4 \sin^3 x - \sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x}\)
Nie wpada mi do głowy prostsze, niewymagające tej tożsamości rozwiązanie. Do podanej tożsamości można dojść elementarnie, w razie czego służę pomocą.
4. Przydadzą się wzory redukcyjne. Zacznij od wydedukowania, dla jakiego \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}}}\). Następnie uogólnij odpowiedź ze względu na okresowość funkcji (\(\displaystyle{ +2k\pi}\)) i gotowe. Druga nierówność polega na tym samym, tylko na początku trzeba podzielić strony przez \(\displaystyle{ 6}\) i przerzucić wartość liczbową na prawą stronę.
EDIT: co do trzeciego zadania, można tak, korzystając ze wzoru na sinusa sumy kątów, funkcji kąta podwojonego oraz jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \sin(x+2x) = \sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x = \sin x (1 - 2 \sin^2 x) + 2 \cos^2 x \sin x = \sin x (1 - 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x) = \sin x (1 + 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x - 4 \sin^2 x) = \sin x (3 - 4 \sin^2 x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x}\)
\(\displaystyle{ \cos 2x -1 \ge 0}\)
Co, przekształcając równoważnie, oznacza:
\(\displaystyle{ \cos 2x \ge 1}\)
Wiemy, ze wartość funkcji cosinus nie przekracza nigdy 1, stąd:
\(\displaystyle{ \cos 2x = 1}\)
A to już łatwo rozwiązać (jeśli nie - pisz).
2. Zapisz całe wyrażenie w jednym znaczniku i popraw zapis - w pierwszym wyrażeniu nie ma znaku równości, a jeżeli jest to jedna tożsamość, to uporządkuj to jakoś tak, żeby można było zrozumieć, co jest czym .
3. To zadanie jest nieco trudniejsze. Zacznę od tożsamości, która z pewnością jest mało znana:
\(\displaystyle{ \sin nx = 2 \cos x \sin (n-1)x - \sin (n-2)x}\)
Na tej podstawie:
\(\displaystyle{ \sin 3x = 2 \cos x \sin 2x - \sin x}\)
Znamy wzór na sinus kąta podwojonego:
\(\displaystyle{ \sin 3x = 2 \cos x (2 \sin x \cos x) - \sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin 3x = 4 \cos^2 x \sin x - \sin x}\)
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \sin 3x = 4 (1 - \sin^2 x) \sin x - \sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin 3x = 4 \sin x - 4 \sin^3 x - \sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x}\)
Nie wpada mi do głowy prostsze, niewymagające tej tożsamości rozwiązanie. Do podanej tożsamości można dojść elementarnie, w razie czego służę pomocą.
4. Przydadzą się wzory redukcyjne. Zacznij od wydedukowania, dla jakiego \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}}}\). Następnie uogólnij odpowiedź ze względu na okresowość funkcji (\(\displaystyle{ +2k\pi}\)) i gotowe. Druga nierówność polega na tym samym, tylko na początku trzeba podzielić strony przez \(\displaystyle{ 6}\) i przerzucić wartość liczbową na prawą stronę.
EDIT: co do trzeciego zadania, można tak, korzystając ze wzoru na sinusa sumy kątów, funkcji kąta podwojonego oraz jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \sin(x+2x) = \sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x = \sin x (1 - 2 \sin^2 x) + 2 \cos^2 x \sin x = \sin x (1 - 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x) = \sin x (1 + 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x - 4 \sin^2 x) = \sin x (3 - 4 \sin^2 x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x}\)
-
ciemniutka
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 21 kwie 2010, o 13:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: pomorskie
cosinus, dziedzina funkcji, tożsamość.problem z obliczeniami
Przepraszam! Zjadłam wyrażenie w 2 zad. Powinno ono wygladac tak:
a)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{cosx}+\frac{1}{sinx} ) (sinx +cosx) = 2 + \frac{1} {sinx cosx}}\)
b)
\(\displaystyle{ \frac {1} {1+ tg^{2}x} + \frac {1} {1+ctg ^{2} x}=1}\)
W zad. 1...
\(\displaystyle{ cos2x=1}\)
Nie wiem, czy dobrze myślę, zielona jestem. Należy obliczyć x?
I taki sam problem z zadaniem 4 :/ leżę na tych nierównościach i trygonometrii... Nie wiem co się z czym je... Wykuć regułki nic trudnego.. ale później te wszystkie wzory zastosować? Kompletna pustka...
A do tego doszło kolejne, z wykresami funkcji... Ale to może innym razem...
edit. do zad 4 złapałam tylko tyle ze
\(\displaystyle{ sin \alpha}\) dla \(\displaystyle{ \sphericalangle 60' wynosi \frac {\sqrt{3}} {2}}\)
tyle, że w zadaniu sinx jest ujemny ^^
Chyba sie gubię..
a)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{cosx}+\frac{1}{sinx} ) (sinx +cosx) = 2 + \frac{1} {sinx cosx}}\)
b)
\(\displaystyle{ \frac {1} {1+ tg^{2}x} + \frac {1} {1+ctg ^{2} x}=1}\)
W zad. 1...
\(\displaystyle{ cos2x=1}\)
Nie wiem, czy dobrze myślę, zielona jestem. Należy obliczyć x?
I taki sam problem z zadaniem 4 :/ leżę na tych nierównościach i trygonometrii... Nie wiem co się z czym je... Wykuć regułki nic trudnego.. ale później te wszystkie wzory zastosować? Kompletna pustka...
A do tego doszło kolejne, z wykresami funkcji... Ale to może innym razem...
edit. do zad 4 złapałam tylko tyle ze
\(\displaystyle{ sin \alpha}\) dla \(\displaystyle{ \sphericalangle 60' wynosi \frac {\sqrt{3}} {2}}\)
tyle, że w zadaniu sinx jest ujemny ^^
Chyba sie gubię..
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
cosinus, dziedzina funkcji, tożsamość.problem z obliczeniami
Tak, należy obliczyć \(\displaystyle{ x}\). Dla ułatwienia możesz użyć zmiennej pomocniczej \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ t = 2x}\)
I otrzymujemy \(\displaystyle{ \cos t = 1}\). Mam nadzieję, że wiesz, kiedy cosinus przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\). Otrzymane \(\displaystyle{ t}\) potem podstawiasz do pierwszego równania, z którego wyszliśmy.
Co do czwartego zadania, zanim zaczniesz uczyć się wzorów, zapoznaj się, jak wyglądają wykresy tych funkcji, kiedy np. sinus przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a kiedy cosinus np. \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{3}}\). Bez tego nie ruszysz i znajomość wzorów nic nie pomoże.
\(\displaystyle{ t = 2x}\)
I otrzymujemy \(\displaystyle{ \cos t = 1}\). Mam nadzieję, że wiesz, kiedy cosinus przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\). Otrzymane \(\displaystyle{ t}\) potem podstawiasz do pierwszego równania, z którego wyszliśmy.
Co do czwartego zadania, zanim zaczniesz uczyć się wzorów, zapoznaj się, jak wyglądają wykresy tych funkcji, kiedy np. sinus przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a kiedy cosinus np. \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{3}}\). Bez tego nie ruszysz i znajomość wzorów nic nie pomoże.