rozwiąż układ

[agnieszka19192]

rozwiąż układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} sinxcosy=0 \\ sinycosx=1 \end{cases}}\)

[lukasz1804]

Dodając i odejmując równania układu stronami dostajemy \(\displaystyle{ \begin{cases}\sin x\cos y+\sin y\cos x=1 \\ \sin x\cos y-\sin y\cos x=-1 \end{cases}}\). Stąd i ze wzorów na sinus sumy i różnicy kątów mamy \(\displaystyle{ \begin{cases} \sin(x+y)=1 \\ \sin(x-y)=-1\end{cases}}\), skąd \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=\frac{1}{2}\pi+2k\pi \\ x-y=-\frac{1}{2}\pi+2l\pi\end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ k,l}\) są pewnymi liczbami całkowitymi. Zatem mamy \(\displaystyle{ 2x=2(k+l)\pi}\) oraz \(\displaystyle{ 2y=\pi+2(k-l)\pi}\), tj. \(\displaystyle{ x=(k+l)\pi}\) oraz \(\displaystyle{ y=\frac{\pi}{2}+(k-l)\pi}\).